ปริภูมิสามมิติ
ในปริภูมิ 3มิติ ประกอบด้วยระนาบ 3 ระนาบตั้งฉากซึ่งกันและกัน
ซึ่งรอยตัดของแต่ละคู่ระนาบจะเกิดเป็นเส้นตรง
ดังนั้นจึงมีเส้นตรง 3 เส้นเกิดขึ้นซึ่งเส้นตรงแต่ละเส้นก็จะตั้งฉากซึ่งกันและกันด้วยและเส้นตรงทั้ง 3 จะตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเป็นจุดเดียวกันกับที่ระนาบทั้ง 3 ตัดกันเรียกจุดดังกล่าวว่า จุดกำเนิด(origin) และเรียกเส้นตรงทั้ง 3 ว่า แกนพิกัด(coordinate axes)ซึ่งแกนทั้ง 3 จะมีทิศทางเป็นบวกหรือลบโดยวัดจากจุดกำเนิดไปตามแต่ละแกนในทิศใดทิศหนึ่งโดยให้ทิศที่ใช้หัวลูกศรแสดงทิศทางบวกและตรงข้ามหัวลูกศรมีทิศทางลบ
การกำหนดชื่อแกนพิกัดของปริภูมิ 3 มิติที่นิยมกันมี 2 ระบบเรียกว่า ระบบมือขวา กับ ระบบมือซ้าย
กล่าวคือระบบมือขวาจะใส่ชื่อแกน $ x $ แกน $ y $ และ แกน $ z $ ทางด้านบวก ถ้าเราใช้มือขวากำมือจาก แกน $ x $ ด้านบวก ไป แกน $ y $ ทางด้านบวก แล้ว แกน $ z $ ด้านบวกจะมีทิศทางไปตามนิ้วหัวแม่มือ ดังรูป
ส่วนระบบมือซ้ายก็ทำนองเดียวกันเพียงแต่ใช้มือซ้ายแทน
ในที่นี้จะใช้ ระบบมือขวา
- เรียกระนาบที่ผ่านแกน $ x $ และ แกน $ y $ ว่าระนาบ $ xy $
- เรียกระนาบที่ผ่านแกน $ x $ และ แกน $ z $ ว่าระนาบ $ xz $
- เรียกระนาบที่ผ่านแกน $ y $ และ แกน $ z $ ว่าระนาบ $ yz $
จุด $ P $ ในปริภูมิ 3 มิติ จะแทนด้วย สามสิ่งอันดับใน $ R^{3} $ ด้วยสามสิ่งอันดับ $ (x,y,z) $
ซึ่งเรียกว่า พิกัดฉาก ของจุด $ P $ ก็ต่อเมื่อ $ x, y, z $ เป็นระยะที่มีทิศทางตามแนว แกน $ x $ แกน $ y $ และ แกน $ z $ ตามลำดับของจุด $ P $ ไปยัง ระนาบ $ yz $ ระนาบ $xz $ ระนาบ $ xy $ ตามลำดับ
โดยที่
- ถ้าวัดตามแนวพิกัดทางบวก ค่าพิกัดตามแนวแกนพิกัดนั้นจะมีค่าป็นบวก
- ถ้าวัดตามแนวพิกัดทางลบ ค่าพิกัดตามแนวแกนพิกัดนั้นจะมีค่าป็นลบ
เรียก ค่า $ x $ ค่า $ y $ และ ค่า $ z $ ว่า พิกัด $ x (x-coordinate) $ พิกัด $ y (y-c oordinate) $ และ พิกัด $ z (z-coordinate) $
ในทำนองเดียวกันสามสิ่งอันดับ $ (a,b,c) $ ใน $ R^{3} $ จะสามารถหาจุดเพียงจุดเดียวในปริภูมิ 3 มิติที่
พิกัด $ x = a $ พิกัด $ y = b $ และ พิกัด $ z = c $
นั่นคือสามสิ่งอันดับใน $ R^{3} $ สามารถแทนได้ด้วยจุดในปริภูมิ 3 มิติ เพียงจุดเดียว
ปริภูมิ 3 มิติจะถูกแบ่งบริเวณเป็น 8 ส่วนเรียกว่า อัฐภาค ส่วนที่ 1 คือส่วนที่พิกัด $ x $
พิกัด $ y $ และ พิกัด $ z $ มีค่าเป็น บวก
ตัวอย่าง
จงเขียนจุด A (1,3,0) , B(2,0,3), C(-1,-2,4)
ในที่นี้เราจะศึกษา ความสัมพันธ์บน $ R^{3} $ ที่มีสมการแสดงความสัมพันธ์ในรูป
- สมการ3ตัวแปรดีกรี 1
คือ $ Ax + By + Cz + D = 0 $ เมื่อ $ A, B, C, D $ เป็นจำนวนจริง
- สมการ3ตัวแปรดีกรี 2
คือ $ Ax^{2} + By^{2} + C z^{2} + Dx + Ey + Fz + G = 0 $
เมื่อ $ A, B, C, D,E,F,G $ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $ A,B,C $ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ซึ่งเป็นกรณีเฉพราะของสมการ 3 ตัวแปรดีกรี 2 ทั่วไปคือ $ Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + Dxy + Exz + Fyz + Gx+Hy+Iz+J = 0 $
เมื่อ $ A, B, C, D ,E,F $ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
จากสมการ 3 ตัวแปรดีกรี 1 และสมการ3ตัวแปรดีกรี 2 สามารถเขียนในรูปทั่วไปได้เป็น $ F(x,y,z) = 0 $
เมื่อ $ F(x,y,z) $ เป็นฟังก์ชันของ 3 ตัวแปร $ x,y,z $
และสมาชิกของความสัมพันธ์บน $ R^{3} $ สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนปริภูมิ 3 มิติ ซึ่งจะเรียกว่ากราฟ ของ ผิวของความสัมพันธ์
ดังนั้นเราจะใช้กราฟของพื้นผิวของความสัมพันธ์เพื่ออธิบายคุณลักษณะต่างๆของความสัมพันธ์ที่มีสมการแสดงความสัมพันธ์ คือ $ F(x,y,z) = 0 $
ในการเขียนกราฟพื้นผิวบนปริภูมิสามมิติที่กำหนดโดยสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ จะพิจารณาสิ่งสำคัญต่างๆดังนี้
- พิจารณาจุดตัดแกนพิกัด
ได้แก่
- จุดตัดแกน $ x $
โดยการหาค่า $ x $ จากสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อกำหนดให้ $ y = 0 $ และ $ z = 0 $
- จุดตัดแกน $ y $
โดยการหาค่า $ y $ จากสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อกำหนดให้ $ x = 0 $ และ $ z = 0 $
- จุดตัดแกน $ z $
โดยการหาค่า $ z $ จากสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อกำหนดให้ $ x = 0 $ และ $ y = 0 $
- พิจารณาภาคตัดขวางบนระนาบพิกัด
ได้แก่
- ภาคตัดขวางบนระนาบ $ xy $
พิจารณากราฟบนสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อ $ z = 0 $
- ภาคตัดขวางบนระนาบ $ xz $
พิจารณากราฟบนสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อ $ y = 0 $
- ภาคตัดขวางบนระนาบ $ yz $
พิจารณากราฟบนสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อ $ x = 0 $
- พิจารณารอยภาคตัดขวางบนระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด
ให้ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วพิจารณา
- ภาคตัดขวางบนระนาบ $ z = k$
พิจารณากราฟบนสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อ $ z = k $
- ภาคตัดขวางบนระนาบ $ y = k$
พิจารณากราฟบนสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อ $ y = k $
- ภาคตัดขวางบนระนาบ $ x = k$
พิจารณากราฟบนสมการ $ F(x,y,z) = 0 $ เมื่อ $ x = k $
- ทดสอบการสมมาตร
- สมมาตรกับจุดกำเนิด
เมื่อ $ F(-x,-y,-z) = F(x,y,z) $
- สมมาตรกับแกนพิกัด
- กราฟจะสมมาตรกับแกน x
เมื่อ $ F(x,-y,-z) = F(x,y,z) $
- กราฟจะสมมาตรกับแกน y
เมื่อ $ F(-x,y,-z) = F(x,y,z) $
- กราฟจะสมมาตรกับแกน z
เมื่อ $ F(-x,-y,z) = F(x,y,z) $
- สมมาตรกับระนาบพิกัด
- กราฟจะสมมาตรกับระนาบ $ xy $
เมื่อ $ F(x,y,-z) = F(x,y,z) $
- กราฟจะสมมาตรกับระนาบ $ xz $
เมื่อ $ F(x,-y,z) = F(x,y,z) $
- กราฟจะสมมาตรกับระนาบ $ yz $
เมื่อ $ F(-x,y,z) = F(x,y,z) $
ตัวอย่าง
จงทดสอบว่ากราฟของพื้นผิว $ 4 x^{2} + 5 y^{2} = 20z $
สมมาตรกับ แกน $ x $ และ ระนาบ $ xz $ หรือไม่
วิธีทำ