ระนาบ (PLANES)
สมการ 3 ตัวแปร ดีกรี 1 ในรูป $ Ax+By+Cz+D = 0 $ เมื่อ $ A,B,C $ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะมีกราฟพื้นผิวเป็น ระนาบ
ในการวาดรูประนาบ จะพิจารณา
- จุดตัดแกน $ x $
- จุดตัดแกน $ y $
- จุดตัดแกน $ z $
- รอยตัดบนระนาบ $ xy $
- รอยตัดบนระนาบ $ xz $
- รอยตัดบนระนาบ $ yz $
สามารถพิจารณากราฟระนาบดังต่อไปนี้
- กรณีที่ $ A,B,C $ มีค่าไม่เป็น $ 0 $ ทุกค่า
จะได้ จุดตัดแกน ดังนี้
- จุดตัดแกน $ x $
ที่จุด $ (-\frac{D}{A},0,0) $
- จุดตัดแกน $ y $
ที่จุด $ (0,-\frac{D}{B},0) $
- จุดตัดแกน $ z $
ที่จุด $ (0,0,-\frac{D}{C}) $
- รอยตัดบนระนาบ $ xy $
เป็นเส้นตรง $ Ax+By + D = 0 $
- รอยตัดบนระนาบ $ xz $
เป็นเส้นตรง $ Ax+Cz + D = 0 $
- รอยตัดบนระนาบ $ yz $
เป็นเส้นตรง $ By+Cz + D = 0 $
ตัวอย่าง
จงพิจารณาวาดกราฟ $ x-2y+3z=6 $
วิธีทำ
จากสมการจะได้
- จุดตัดแกน $ x $
ที่จุด $ (6,0,0) $
- จุดตัดแกน $ y $
ที่จุด $ (0,-3,0) $
- จุดตัดแกน $ z $
ที่จุด $ (0,0,2) $
และมีรอยตัดบนระนาบคือ
- รอยตัดบนระนาบ $ xy $
เป็นเส้นตรง $ x-2y = 6 $
- รอยตัดบนระนาบ $ xz $
เป็นเส้นตรง $ x+3z = 6 $
- รอยตัดบนระนาบ $ yz $
เป็นเส้นตรง $ -2y+3z = 6 $
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้
- กรณีที่ $ A,B,C $ มีค่าเป็น $ 0 $ หนึ่งค่า
กราฟจะเป็นระนาบที่ขนานไปกับแกนที่ตัวแปรหายไป
ตัวอย่าง
จงพิจารณาวาดกราฟ $ 3x-4z = 12 $
วิธีทำ
จากสมการตัวแปร $ y $ ไม่ปรากฎ ดังนั้น สมการมีกราฟเป็นระนาบที่ขนานกับแกน $ y $ และ
มีจุดตัดแกน ดังนี้
- จุดตัดแกน $ x $
ที่จุด $ (4,0,0) $
- จุดตัดแกน $ z $
ที่จุด $ (0,0,-3) $
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้
- กรณีที่ $ A,B,C $ มีค่าเป็น $ 0 $ สองค่า
กราฟจะเป็นระนาบตัดกับแกนที่ตัวแปรเหลืออยู่และขนานกับระนาบของสองตัวแปรที่หายไป
ตัวอย่าง
จงพิจารณาวาดกราฟ $ 4z = 8$
วิธีทำ
จากสมการตัวแปร $ x,y $ ไม่ปรากฎ
ดังนั้น สมการมีกราฟเป็นระนาบที่ขนานกับระนาบ $ xy $ และ มีจุดตัดแกน $ z $ ที่จุด $ (0,0,2) $