จงสลับลำดับในการหาปริพันธ์
จงสลับลำดับในการหาปริพันธ์
$ \int_0^2 \int_0^{\sqrt{x}} f(x,y)dydx $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : 0 \le x \le 2 , 0 \le y \le \sqrt{x} \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_0^2 \int_0^{\sqrt{x}} f(x,y)dydx \qquad = \int_0^{\sqrt{2}} \int_{y^2}^2 f(x,y) dx dy $
$ \int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} f(x,y)dydx $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : -2 \le x \le 2 , -\sqrt{1-\frac{x^2}{4}} \le y \le \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} f(x,y)dydx \qquad = \int_{-1}^1 \int_{-2\sqrt{1-y^2} }^{2 \sqrt{1-y^2 }} f(x,y)dxdy $
$ \int_1^3 \int_0^{\ln{x}} f(x,y)dydx $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : 1 \le x \le 3 , 0 \le y \le \ln x \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_1^3 \int_0^{\ln x } f(x,y)dydx \qquad = \int_0^{\ln 3} \int_{e^y}^3 f(x,y) dxdy $
$ \int_0^1 \int_{arctan x}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)dydx $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : 0 \le x \le 1 , \arctan x \le y \le \frac{\pi}{4} \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_0^1 \int_{arctan x}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)dydx \qquad = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\tan y} f(x,y)dxdy $