จงสลับลำดับในการหาปริพันธ์
จงสลับลำดับในการหาปริพันธ์
$ \int_0^2 \int_1^{e^y} f(x,y)dxdy$
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : 0 \le y \le 2 , 1 \le x \le e^y \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_0^2 \int_1^{e^y} f(x,y)dxdy \qquad = \int_1^{e^2} \int_{\ln x}^2 f(x,y) dy dx $
$ \int_0^1 \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x,y)dxdy $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : 0 \le y \le 1 , \arcsin y \le x \le \frac{\pi}{2} \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_0^1 \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x,y) dxdy \qquad = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{sin x} f(x,y)dydx $
$ \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^1 f(x,y)dxdy $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : 0 \le y \le 1 , \sqrt{y} \le x \le 1 \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^1 f(x,y)dxdy \qquad = \int_0^1 \int_0^{x^2} f(x,y) dydx $
$ \int_0^3 \int_0^{\sqrt{9-y^2}} f(x,y)dxdy $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ทำให้รู้ว่า บริเวณ $ R $ คือ
$ R = \{ (x,y) : 0 \le y \le 3 , 0 \le x \le \sqrt{9-y^2} \} $
ดังรูป
ดังนั้น $ \int_0^3 \int_0^{\sqrt{9-y^2}} f(x,y)dxdy \qquad = \int_0^ 3 \int_0^{\sqrt{9-x^2}} f(x,y)dxdy $