$ \int_0^3 \int_0^{\sqrt{9-z^2}} \int_0^{9-x^2-z^2} \sqrt{x^2+z^2} dy dx dz $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์ ทำให้ได้
$$ E = \{ (x,y,z) : 0 \le z \le 3 , 0 \le x \le \sqrt{9-z^2} , 0 \le y \le 9-x^2-z^2 \} $$
สามารถแปลงเป็นพิกัดทรงกระบอก โดยให้ $ x= r cos \theta , z= r sin \theta , y=y $ จะได้
$$ E = \{ (r,\theta , y) : 0 \le \theta \le \frac{ \pi}{2} , 0 \le r \le 3 , 0 \le y \le 9-r^2 \} $$
และได้ $ dydxdz = r dy dr d \theta $
ดังนั้น
$$ \int_0^3 \int_0^{\sqrt{9-z^2}} \int_0^{9-x^2-z^2} \sqrt{x^2+z^2} dy dx dz \qquad = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 \int_0^{9-r^2} r^2 dy dr d \theta = \frac{81 \pi}{5}$$
สามารถใช้โปรแกรม SageMath