$ \int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}} z dz dy dx $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์
$$ E= \{ (x,y,z) : -2 \le x \le 2 , -\sqrt{4-x^2} \le y \le \sqrt{4-x^2} , 0 \le z \le \sqrt{4-x^2-y^2} \}$$
โดยการแปลงเป็นพิกัดทรงกลม ให้
$ x = \rho sin \phi cos \theta ,\\ y = \rho sin \phi sin \theta , \\z = \rho cos \phi $
จะได้ $$ E= \{ (\rho,\theta ,\phi ) : 0 \le \rho \le 2 , 0 \le \theta \le 2 \pi , 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2} \}$$
และ $ dzdydx = \rho ^2 sin \phi d\rho d \phi d \theta $
ดังนั้น
$$ \int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}} z dz dy dx \qquad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 \rho cos \phi \rho ^2 sin \phi \quad d\rho d \phi d \theta \\
\qquad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 \rho ^3 cos \phi sin \phi \quad d\rho d \phi d \theta $$