$ \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{6x^2+6y^2}}^{\sqrt{7-x^2-y^2}} y dz dy dx $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์
$$ E= \{ (x,y,z) : -1 \le x \le 1 , -\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2} , \sqrt{6x^2+6y^2} \le z \le \sqrt{7-x^2-y^2} \}$$
โดยการแปลงเป็นพิกัดทรงกลม ให้
$ x = \rho sin \phi cos \theta ,\\ y = \rho sin \phi sin \theta , \\z = \rho cos \phi $
จะได้ $$ E= \{ (\rho,\theta ,\phi ) : 0 \le \rho \le \sqrt{7} , 0 \le \theta \le 2 \pi , 0 \le \phi \le arccos(\sqrt{\frac{6}{7}}) \}$$
และ $ dzdydx = \rho ^2 sin \phi d\rho d \phi d \theta $
ดังนั้น
$$ \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{6x^2+6y^2}}^{\sqrt{7-x^2-y^2}} y dz dy dx \qquad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{arccos(\sqrt{\frac{6}{7}})} \int_0^{\sqrt{7}} \rho sin \phi sin \theta \rho ^2 sin \phi \quad d\rho d \phi d \theta \\
\qquad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{arccos(\sqrt{\frac{6}{7}})} \int_0^{\sqrt{7}} \rho^3 sin^2 \phi sin \theta \quad d\rho d \phi d \theta $$