$ \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+z^2}}^{\sqrt{2-z^2-x^2}} y dy dz dx $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์
$$ E= \{ (x,y,z) : -1 \le x \le 1 , -\sqrt{1-x^2} \le z \le \sqrt{1-x^2} , \sqrt{x^2+z^2} \le y \le \sqrt{2-z^2-x^2} \}$$
ดังรูป
โดยการแปลงเป็นพิกัดทรงกลม ให้
$ z = \rho sin \phi cos \theta ,\\ x = \rho sin \phi sin \theta , \\y = \rho cos \phi $
จะได้ $$ E= \{ (\rho,\theta ,\phi ) : 0 \le \rho \le \sqrt{2} , 0 \le \theta \le 2 \pi , 0 \le \phi \le \frac{\pi}{4} \}$$
และ $ dydzdx = \rho ^2 sin \phi d\rho d \phi d \theta $
ดังนั้น
$$\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+z^2}}^{\sqrt{1-z^2-x^2}} y dy dz dx \qquad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\sqrt{2}} \rho cos \phi \rho ^2 sin \phi \quad d\rho d \phi d \theta \\
\qquad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\sqrt{2}} \rho ^3 cos \phi sin \phi \quad d\rho d \phi d \theta $$