$ \int_{-3}^3 \int_0^{\sqrt{9-y^2}} \int_{-\sqrt{9-z^2-y^2}}^{\sqrt{9-z^2-y^2}} y^2 \sqrt{x^2+y^2+z^2} dx dz dy $
วิธีทำ
จากขอบเขตของปริพันธ์
$$ E= \{ (x,y,z) : -3 \le y \le 3 , 0 \le z \le \sqrt{9-y^2} , -\sqrt{9-z^2-y^2} \le x \le \sqrt{9-z^2-y^2} \}$$
โดยการแปลงเป็นพิกัดทรงกลม ให้
$ x = \rho sin \phi cos \theta ,\\ y = \rho sin \phi sin \theta , \\z = \rho cos \phi $
จะได้ $$ E= \{ (\rho,\theta ,\phi ) : 0 \le \rho \le 3 , 0 \le \theta \le 2 \pi , 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2} \}$$
และ $ dxdzdy = \rho ^2 sin \phi d\rho d \phi d \theta $
ดังนั้น
$$\int_{-3}^3 \int_0^{\sqrt{9-y^2}} \int_{-\sqrt{9-z^2-y^2}}^{\sqrt{9-z^2-y^2}} y^2 \sqrt{x^2+y^2+z^2} dx dz dy \qquad =
\int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 \rho^2 sin^2 \phi sin^2 \theta \rho \rho ^2 sin \phi \quad d\rho d \phi d \theta \\
\qquad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 \rho^5 sin^3 \phi sin^2 \theta \quad d\rho d \phi d \theta $$