ปริพันธ์สองชั้นบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ให้ f(x,y) เป็นฟังก์ชัน 2 ตัวแปรที่ต่อเนื่องบริเวณ R
โดยที่ R = {(x,y):a $\le x \le b , c \le y \le d $ }

ปริพันธ์สองชั้นของ f(x,y) บริเวณ R เขียนแทนด้วย $ \int\int_R f(x,y) dA $
กำหนดโดย

$ \int\int_R f(x,y) dA = \lim_{n,m \to \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_i,y_j) \triangle_{ij} A $
ถ้าลิมิตนี้หาค่าได้
ถ้าปริพันธ์สองชั้นของ f(x,y) บริเวณ R หาค่าได้แล้ว เรากล่าวว่า f(x,y) สามารถหาปริพันธ์ได้ (integrable) บริเวณ R

ให้ f(x,y) เป็นฟังก์ชัน 2 ตัวแปร ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ บริเวณ R = {(x,y):a $\le x \le b , c \le y \le d $ }
กำหนด

$ \int_a^b f(x,y) dx $
เรียกว่า ปริพันธ์ย่อยจำกัดเขตเทียบกับ x

ซ๊่งเป็นการหาปริพันธ์จำกัดเขตของ f(x,y) เทียบกับ x โดยถือว่า y คงที่ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันของ y
และ สัญลักษณ์

$ \int_c^d f(x,y) dy $
เรียกว่า ปริพันธ์ย่อยจำกัดเขตเทียบกับ y

ซี่งเป็นการหาปริพันธ์จำกัดเขตของ f(x,y) เทียบกับ y โดยถือว่า x คงที่ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันของ x

ตัวอย่าง

$ \int_0^1 2xy^3 dx = x^2y^3 \vert_0^1 = y^3 $
$ \int_0^2 2xy^3 dy = \frac{x^2y^4}{2} \vert_0^2 = 8x $

x,y=var('x,y')
integrate(2*x*y^3,(x,0,1))

y^3

x,y=var('x,y')
integrate(2*x*y^3,(y,0,2))

8*x

ให้ $ A(y) = \int_a^b f(x,y) dy $
เรียก $ \int_c^d A(y) dy = \int_c^d \big ( \int_a^b f(x,y) dx \big ) dy $
ว่า

วิธีทำปริพันธ์ซ้ำ

เขียนแทนด้วย
$ \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy $
ในทำนองเดียวกัน $ \int_a^b \big ( \int_c^d f(x,y) dy \big ) dx $ เขียนแทนด้วย
$ \int_a^b \int_c^d f(x,y) dy dx $

ทฤษฎีบท

ถ้า $f(x,y)$ เป็นฟังก์ชัน 2 ตัวแปรที่ต่อเนื่องบนบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ R = \{(x,y):a \le x \le b, c \le y \le d \} =[a,b] \times [c,d] $ แล้ว
$\int\int_R f(x,y) dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) dy dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy $

ตัวอย่าง

ให้ $ f(x,y) = 2xy^3 ,R=[0,1] \times[0,2] $ จะได้ว่า
$ \int \int_R 2xy^3 dA = \int_0^2 \int_0^1 2xy^3 dx dy =\int_0^2 \big ( x^2y^3 \big) \bigg|_0^1 dy = \int_0^2 y^3 dy = 4 $
และจะเห็นได้ว่า
$ \int_0^1 \int_0^2 2xy^3 dy dx = \int_0^1 \big ( \frac{x^2y^4}{2} \big) \bigg |_0^2 dx = \int_0^1 8x dx = 4 $

x,y=var('x,y')
integrate(integrate(2*x*y^3,(x,0,1)),(y,0,2))

4

แบบฝึกหัด

จงหาค่า $\int\int_R f(x,y) dA $ เมื่อ $f(x,y)$ และ $R$ คือ

1. $ f(x,y)=x+2y^3,\qquad \qquad R = [0,1] \times [4,5] $
2. $ f(x,y)=cos(x) sin(y), \qquad R = [0,\frac{\pi}{2}] \times [0,\frac{\pi}{2}]$
3. $ f(x,y)=\frac{x}{y}+ \frac{y}{x},\qquad \qquad R = [1,4] \times [1,2]$
4. $ f(x,y)=ysin(xy) , \qquad \qquad R = [1,2] \times [0,\pi]$