ปริพันธ์ 2 ชั้น ของฟังก์ชัน f(x,y) บริเวณ R ใด ๆ
ซึ่ง แยกเป็น กรณีดังนี้

กรณี แบบ1

$ R = \{ (x,y) : y_1(x) \le y \le y_2(x) , a \le x \le b \}$
จะได้ว่า $\int \int_R f(x,y) dA = \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) dy dx $

ตัวอย่าง

จงหาค่า $ \int\int_R (3x^2+y) dA $เมื่อ $R =\{ (x,y) : x \le y \le x+1, 0 \le x \le1 \}$

วิธีทำ

$ \int\int_R (3x^2+y) dA $$ = \int_0^1\int_x^{x+1} (3x^2+y) dydx \\ = \int_0^1 \big( 3x^2 y +\frac{y^2}{2} \big ) \bigg |_x^{x+1} dx \\ = \int_0^1 \big( (3x^2(x+1)+\frac{(x+1)^2}{2}) -(3x^2(x)+\frac{x^2}{2}) \big) dx \\ = \int_0^1 (3x^2+x+\frac{1}{2}) dx \\ = \big( x^3+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2} \big ) \bigg |_0^1\\ =2 $
ดังโปรแกรม sagemath

x,y=var('x,y')
integrate(3*x^2+y,(y,x,x+1))

3*x^2 + x + 1/2

x,y=var('x,y')
integrate(integrate(3*x^2+y,(y,x,x+1)),(x,0,1))

2

กรณี แบบ 2

$ R = \{ (x,y) : x_1(y) \le x \le x_2(y) , c \le y \le d \}$
จะได้ว่า $\int \int_R f(x,y) dA = \int_c^d \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx dy $

ตัวอย่าง

จงหาค่า $ \int\int_R (3x^2+y) dA $เมื่อ $R =\{ (x,y) : y-1 \le x \le y^2, 0 \le y \le 1 \}$

วิธีทำ

$ \int\int_R (3x^2+y) dA = \int_0^1\int_{y-1}^{y^2} (3x^2+y) dxdy =\frac{17}{21} $

ดังโปรแกรม sagemath

x,y=var('x,y')
integrate(3*x^2+y,(x,y-1,y^2))

y^6 + 2*y^2 - 2*y + 1

x,y=var('x,y')
integrate(integrate(3*x^2+y,(x,y-1,y^2)),(y,0,1))

17/21