การหาปริพันธ์สองชั้นโดยการแปลงระบบพิกัด

ในการหาปริพันธ์ $ \int\int_R f(x,y) dA $ เมื่อ $ R $ เป็นบริเวณในรูปแบบวงกลม หรือ รูปแบบที่ เขียนอยู่ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้วได้ง่าย
เราก็จะใช้เทคนิก การแปลง จาก พิกัดฉากเป็นพิกัดเชิงขั้ว ดังนี้
ให้ $ x =rcos \theta , y = r sin \theta $ และจะได้ $ x^2+y^2=r^2 \quad dA = r dr d \theta$
และถ้า บริเวณ $R $ เขียนในรูปแบบพิกัดเชิงขั้วได้เป็น
$ R = \{ (r,\theta ): \theta_1 \le \theta \le \theta_2 , r_1(\theta) \le r \le r_2(\theta) \} $ ดังนั้น $$ \int\int_R f(x,y) dA = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r cos\theta,r sin\theta ) r dr d\theta $$

ตัวอย่าง

จงหาพื้นที่ภายในรูปหัวใจ $ r =1 - sin\theta $

In [9]:
t=var('t')
l=line([(0,0),((1-sin(pi/6) )*cos(pi/6), (1-sin(pi/6))*sin(pi/6))] ,color='green') 
p=point( ( (1-sin(pi/6))*cos(pi/6), (1-sin(pi/6))*sin(pi/6)) , size = 50,color = "red")
c=polar_plot(1-sin(t),(t,0,2*pi))
(l+p+c).show()

วิธีทำ

จากรูป บริเวณ $R$ สามารถเขียนในรูปพิกัดเชิงขั้ว
$R=\{ (r,\theta) : 0 \le \theta \le 2 \pi , 0 \le r \le 1-sin \theta \}$
ดังนั้น พื้นที่คือ
$ \int\int_R 1 dA = \int_0^{2 \pi} \int_0^{1-sin \theta} r dr d \theta = \frac{3\pi}{2}$

In [11]:
r,t=var('r,t')
integrate(r,(r,0,1-sin(t)))
Out[11]:
1/2*sin(t)^2 - sin(t) + 1/2
In [12]:
integrate(integrate(r,(r,0,1-sin(t))),(t,0,2*pi))
Out[12]:
3/2*pi

ตัวอย่าง

จงหาค่า $\int\int_R \sqrt{4-x^2-y^2} dA $ เมื่อ $R=\{ (x,y): x^2+y^2 \le 4 , x \ge 0 \}$

In [15]:
t=var('t')
l=line([(0,0),(2*cos(pi/6), 2*sin(pi/6))] ,color='green') 
p=point( ( 2*cos(pi/6), 2*sin(pi/6)) , size = 50,color = "red")
c=parametric_plot((2*cos(t),2*sin(t)),(t,-pi/2,pi/2))
(l+p+c).show()

วิธีทำ

ใช้การแปลงพิกัดเป็นพิกัดเชิงขั้ว โดยให้
$ x= r cos \theta , y = r sin \theta $
จะได้ $ x^2+y^2 = r^2 , dA = r dr d \theta $
และ จาก บริเวณ $R$ สามารถเขียนในรูปพิกัดเชิงขั้ว
$R=\{ (r,\theta) : -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} , 0 \le r \le 2 \}$
ดังนั้น $$ \int\int_R \sqrt{4-x^2-y^2} dA = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 \sqrt{4-r^2} r dr d \theta = \frac{8\pi}{3} $$

In [16]:
r,t=var('r,t')
integrate(r*sqrt(4-r^2),(r,0,2))
Out[16]:
8/3
In [17]:
r,t=var('r,t')
integrate(integrate(r*sqrt(4-r^2),(r,0,2)),(t,-pi/2,pi/2))
Out[17]:
8/3*pi