ปริพันธ์สามชั้น

ปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดฉาก

ทฤษฎีบท

ถ้า $f(x,y,z)$ เป็นฟังก์ชัน 3 ตัวแปรที่ต่อเนื่องบนรูปทรงสามมิติ $ E = \{(x,y,z):x_1 \le x \le x_2, y_1 \le y \le y_2 ,z_1 \le z \le z_2 \} =[x_1,x_2] \times [y_1,y_2] \times [z_1,z_2] $
แล้ว $\int \int\int_E f(x,y,z) dV = \quad \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{z_1}^{z_2}f(x,y,z) dz dy dx \\ \qquad = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} \int_{z_1}^{z_2}f(x,y,z) dz dx dy \\ \qquad = \int_{x_1}^{x_2} \int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1}^{y_2} f(x,y,z) dy dz dx \\ \qquad = \int_{z_1}^{z_2} \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} f(x,y,z) dy dx dz\\ \qquad = \int_{y_1}^{y_2} \int_{z_1}^{z_2} \int_{x_1}^{x_2} f(x,y,z) dx dz dy \\ \qquad = \int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} f(x,y,z) dx dy dz \\ $

กรณี แบบ1

เมื่อ $ E = \{(x,y,z):(x,y) \in D ,z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y) \} $ เมื่อ $D$ เป็นภาพฉายของ $E$ บนระนาบ $xy$
แล้ว $\int\int\int_E f(x,y,z) dV = \quad \int \int_D \big [ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z) dz \big ] dA $

กรณี แบบ2

เมื่อ $ E = \{(x,y,z):(x,z) \in D ,y_1(x,z) \le y \le y_2(x,z) \} $ เมื่อ $D$ เป็นภาพฉายของ $E$ บนระนาบ $xz$
แล้ว $\int\int\int_E f(x,y,z) dV = \quad \int \int_D \big [ \int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)}f(x,y,z) dy \big ] dA $

กรณี แบบ3

เมื่อ $ E = \{(x,y,z):(y,z) \in D ,x_1(y,z) \le x \le x_2(y,z) \} $ เมื่อ $D$ เป็นภาพฉายของ $E$ บนระนาบ $yz$
แล้ว $\int\int\int_E f(x,y,z) dV = \quad \int \int_D \big [ \int_{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)}f(x,y,z) dx \big ] dA $

ตัวอย่าง

จงหาค่า $\int \int \int_E (x+6yz^2) dV $
เมื่อ $E=\{ (x,y,z): 0 \le x \le 1 , 0 \le y \le 2 , 0 \le z \le 3 \}$

วิธีทำ

$\int \int \int_E (x+6yz^2) dV = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 (x+6yz^2) dzdydx = 111$

In [2]:
x,y,z=var('x,y,z')
integrate(x+6*y*z^2,(z,0,3))
Out[2]:
3*x + 54*y
In [3]:
x,y,z=var('x,y,z')
integrate(integrate(x+6*y*z^2,(z,0,3)),(y,0,2))
Out[3]:
6*x + 108
In [4]:
x,y,z=var('x,y,z')
integrate(integrate(integrate(x+6*y*z^2,(z,0,3)),(y,0,2)),(x,0,1))
Out[4]:
111

ตัวอย่าง

จงหาค่า $\int \int \int_E 6y dV $
เมื่อ $E$ เป็นรูปที่ล้อมรอบด้วย ระนาบ $ x = 0,y=0,z=0 ,3x+2y+z-6=0 $

In [1]:
p1= polygon3d([[0,0,0], [2,0,0], [0,0,6]])
p2 = polygon3d([[0,0,0],[0,3,0],[0,0,6]])
p3 = polygon3d([[0,0,0],[2,0,0],[0,3,0]])
p4 = polygon3d([[2,0,0],[0,3,0],[0,0,6]])
(p1+p2+p3+p4).show()
In [2]:
p3.show()

วิธีทำ

สามารถพิจารณา $E$ ในรูปแบบ1 โดย
$ E =\{ (x,y,z) : (x,y) \in D ,0 \le z \le 6-3x-2y \}$ เมื่อ $D= \{ (x,y) : x \ge 0 , 0 \le y \le \frac{6-3x}{2}\} $
และถ้าพิจาณา $D $ รูปแบบ 1 อีก นั่นคือ
$D=\{ (x,y) : 0 \le x \le 2 , 0 \le y \le \frac{6-3x}{2} \}$
จะได้ว่า $ \int\int\int_E 6y dV =\int\int_D \big [ \int_0^{6-3x-2y}6y dz \big ] dA \\ = \int_0^2 \int_0^{\frac{6-3x}{2}} \int_0^{6-3x-2y} 6y dz dydx\\ = 27$

In [6]:
x,y,z=var('x,y,z')
integrate(6*y,(z,0,6-3*x-2*y))
Out[6]:
-6*(3*x + 2*y - 6)*y
In [8]:
x,y,z=var('x,y,z')
integrate(integrate(6*y,(z,0,6-3*x-2*y)),(y,0,(6-3*x)/2))
Out[8]:
-27/4*x^3 + 81/2*x^2 - 81*x + 54
In [9]:
x,y,z=var('x,y,z')
integrate(integrate(integrate(6*y,(z,0,6-3*x-2*y)),(y,0,(6-3*x)/2)),(x,0,2))
Out[9]:
27

หมายเหต

ถ้าพิจารณา $ D$ เป็นรูปแบบ2 จะได้ว่า
$D= \{ (x,y): 0\le y \le 3 , 0 \le x \le \frac{6-2y}{3} \}$
ดังนั้น $ \int \int \int_E 6y dV =\int_0^3 \int_0^{\frac{6-2y}{3}} \int_0^{6-3x-2y} 6 y dz dx dy = 27$

In [10]:
x,y,z=var('x,y,z')
integrate(integrate(integrate(6*y,(z,0,6-3*x-2*y)),(x,0,(6-2*y)/3)),(y,0,3))
Out[10]:
27

อย่างไรก็ตาม สามารถ หาผลเฉลย โดยพิจารณา $E$ ในรูปแบบ 2 หรือ รูปแบบ 3 ก็ได้