ปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดทรงกระบอก

จากปริภูมิ 2 มิติ มี ระบบพิกัดฉาก และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว และ มีความสัมพันธ์ ระหว่า สอง ระบบนี้คือ
ถ้า $(x,y)$ แทนจุดในระบบพิกัดฉาก และ $(r,\theta)$ แทนจุดในพิกัดเชิงขั้ว แล้วจะได้ว่า
$ x = r cos\theta , y= r sin \theta \\ x^2+y^2 = r^2 , \frac{y}{x} = tan \theta$
สำหรับ ปริภูมื 3 มิติ เราสามารถสร้างระบบพิกัดทรงกระบอก ดังนี้
จุด $P$ ในระบบพิกัดทรงกระบอก สามารถแทนด้วย 3 สิ่งอันดับ $ (r,\theta ,z )$
เมื่อ $(r,\theta )$ แทนด้วยจุดที่เกิดจากการฉาย จุด $P$ ลงบนระนาบ $xy$
ดังนั้น ความสัมพันธ์ ระหว่าง จุด $(x,y,z)$ ในระบบพิกัดฉาก กับ จุด $ (r,\theta ,z )$ ในระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นดังนี้

$ x = r cos\theta ,\quad y= r sin \theta ,\quad z=z \\ x^2+y^2 = r^2 ,\quad \frac{y}{x} = tan \theta$

ตัวอย่าง

1. แปลงพิกัด $(1,1,3)$ ในพิกัดฉากเป็นพิกัดทรงกระบอก
2.แปลงพิกัด $(2,\frac{\pi}{3},4)$ ในพิกัดทรงกระบอกเป็นพิกัดฉาก
3.แปลงสมการ $x^2+y^2=4$ ในพิกัดฉากเป็นสมการพิกัดทรงกระบอก
4.แปลงสมการ $x^2+y^2-2x=0 $ ในพิกัดฉากเป็นสมการพิกัดทรงกระบอก

วิธีทำ

1. จาก $r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2} $ และ $tan \theta = \frac{y}{x} = 1$ และเนื่องจาก $ x > 0 ,y > 0$ ดังนั้น $\theta =\frac{\pi}{4}$
นั่นคือ พิกัด $(1,1,3)$ ในพิกัดฉาก แปลงเป็น $(\sqrt{2},\frac{\pi}{4},2) $ ใน พิกัดทรงกระบอก

  1. จาก $x= r cos \theta = 2 cos \frac{\pi}{3} = 1 $ และ $y= r sin \theta = 2 sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $
    นั่นคือ พิกัด $(2,\frac{\pi}{3},4)$ ในพิกัดทรงกระบอก แปลงเป็น $(1,\sqrt{3},4) $ ในพิกัดฉาก
  2. จาก $ x^2+y^2 = r^2 $ ดังนั้น สมการ $x^2+y^2=4$ แปลงเป็น $ r^2 = 4$ หรือ $ r =2 $
  3. จาก $ x^2+y^2 = r^2 , x = rcos \theta $ ดังนั้น สมการ $x^2+y^2-2x=0 $ แปลงเป็น $r^2-2rcos \theta = 0 $ หรือ $r = 2cos \theta$

ทฤษฎีบท

ถ้า $f(x,y,z)$ เป็นฟังก์ชัน 3 ตัวแปรที่ต่อเนื่องบนรูปทรงสามมิติ $E$ ในรูปแบบ 1 และ $E$ แปลงเป็นพิกัดทรงกระบอกได้เป็น
$ E = \{(r,\theta,z):\theta_1 \le \theta \le \theta_2, r_1 \le r \le r_2 ,z_1(rcos \theta,rsin \theta ) \le z \le z_2(rcos \theta,rsin \theta ) \} $
แล้ว $\int \int\int_E f(x,y,z) dV = \quad \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1(rcos \theta,rsin \theta )}^{z_2(rcos \theta,rsin \theta )} f(rcos \theta,rsin \theta,z) r dz dr d \theta $

ตัวอย่าง

จงหาค่า $\int_{-3}^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^3 (x^2+y^2) dz dy dx $

วิธีทำ

จากขอบเขตของปริพันธ์ ทำให้ได้ $E=\{(x,y,z) : -3 \le x \le 3 , -\sqrt{9-x^2} \le y \le \sqrt{9-x^2} , \sqrt{x^2 +y^2 } \le z \le 3 \}$
สามารถแปลงเป็นพิกัดทรงกระบอกได้เป็น
$E=\{(r,\theta,z) : 0 \le \theta \le 2 \pi , 0 \le r \le 3 , r \le z \le 3 \}$
ดังนั้น $\int_{-3}^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^3 (x^2+y^2) dz dy dx \quad = \int_0^{2 \pi} \int_0^3 \int_r^3 (r^2) r dz dr d \theta \quad = \frac{243 \pi}{10}$

In [1]:
from sage.plot.plot3d.plot3d import axes
l = axes(3, 1)
T = Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth'])
r, theta, z = var('r theta z')
p1=plot3d(r, (r, 0, 3), (theta, 0, 2*pi), transformation=T)
p2=plot3d(0, (r, 0, 3), (theta, 0, 2*pi), transformation=T,color='green' ,opacity=0.4)
(p1+p2+l).show(frame = false)
In [2]:
z,r,theta=var('z,r,theta')
integrate(r^3,(z,r,3))
Out[2]:
-(r - 3)*r^3
In [6]:
z,r,theta=var('z,r,theta')
pretty_print(integrate(integrate(r^3,(z,r,3)),(r,0,3)))
In [5]:
z,r,theta=var('z,r,theta')
pretty_print(integrate(integrate(integrate(r^3,(z,r,3)),(r,0,3)),(theta,0,2*pi)))
In [7]:
T = Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth'])
r, theta, z = var('r theta z')
T.transform(radius=r, azimuth=theta, height=z)
Out[7]:
(r*cos(theta), r*sin(theta), z)
In [8]:
T = Cylindrical('height', ['radius', 'azimuth'])
r, theta, z = var('r theta z')
[r,theta,z]=[2,pi/4,2]
T.transform(radius=r, azimuth=theta, height=z)
Out[8]:
(sqrt(2), sqrt(2), 2)