ปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม

ในปริภูมื 3 มิติ เราสามารถสร้างระบบพิกัดทรงกลม ดังนี้
จุด $P$ ในระบบพิกัดทรงกลม สามารถแทนด้วย 3 สิ่งอันดับ $ (\rho,\theta ,\phi )$

เมื่อ $\rho $แทนด้วย ระยะทางจากจุด $O(0,0,0) $ ไปยังจุด $P$
$ \theta $ แทน มุม ที่เกิดจากเส้นตรง $OP'$ กระทำกับแกน $x >0 $ เมื่อ $P'$ เกิดจากการฉาย จุด $P$ ลงบนระนาบ $xy$
$\phi$ แทน มุม ที่เกิดจากเส้นตรง $OP$ กระทำกับแกน $z>0 $
ดังนั้น ความสัมพันธ์ ระหว่าง จุด $(x,y,z)$ ในระบบพิกัดฉาก ซึ่งคือจุด $ (r,\theta , z) $ ในพิกัดทรงกระบอก กับ จุด $ (\rho,\theta ,\phi )$ ในระบบพิกัดทรงกลม เป็นดังนี้

$ z= \rho cos \phi ,\quad r = \rho sin \phi \\ x = \rho sin \phi cos\theta ,\quad y= \rho sin \phi sin \theta ,\quad z= \rho cos \phi \\ x^2+y^2 + z^2 = \rho ^2 ,\quad \frac{y}{x} = tan \theta$

ตัวอย่าง

1. แปลงพิกัด $(0,\sqrt{3},-1)$ ในพิกัดฉากเป็นพิกัดทรงกลม
2.แปลงพิกัด $(2,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4})$ ในพิกัดทรงกลมเป็นพิกัดฉาก
3.แปลงสมการ $x^2+y^2+z^2 = 9 $ ในพิกัดฉากเป็นสมการพิกัดทรงกลม
4.แปลงสมการ $x^2+y^2+z^2-2x=0 $ ในพิกัดฉากเป็นสมการพิกัดทรงกลม

วิธีทำ

1. จาก $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{4}=2 $
จาก $x=0, y>0 $ ดังนั้น $\theta = \frac{\pi}{2}$

$ cos \phi = \frac{z}{\rho} = \frac{-1}{2} $ ดังนั้น $\phi =\frac{2 \pi}{3}$
นั่นคือ พิกัด $(0,\sqrt{3},1)$ ในพิกัดฉาก แปลงเป็น $(2,\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}) $ ใน พิกัดทรงกลม

1. จาก $x= \rho sin \phi cos \theta = 2 sin \frac{\pi}{4}cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
   $y= \rho sin \phi sin \theta = 2 sin \frac{\pi}{4} sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} $
   $ z = \rho cos \phi = 2 cos \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$
   นั่นคือ พิกัด $(2,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4})$ ในพิกัดทรงกลม แปลงเป็น $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{2}) $ ในพิกัดฉาก
   
2. จาก $ x^2+y^2+z^2 = \rho^2 $ ดังนั้น สมการ $x^2+y^2+z^2=9$ แปลงเป็น $ \rho^2 = 9$ หรือ $ \rho =3 $
   
3. จาก $ x^2+y^2+z^2 = \rho ^2 , x = \rho sin \phi cos \theta $ ดังนั้น สมการ $x^2+y^2+z^2-2x=0 $ แปลงเป็น $ \rho^2-2 \rho sin \phi cos \theta = 0 $ หรือ $\rho = 2 sin \phi cos \theta$

ทฤษฎีบท

ถ้า $f(x,y,z)$ เป็นฟังก์ชัน 3 ตัวแปรที่ต่อเนื่องบนรูปทรงสามมิติ $E$ ในรูปแบบ 1 และ $E$ แปลงเป็นพิกัดทรงกระบอกได้เป็น
$ E = \{(\rho,\theta,\phi):\theta_1 \le \theta \le \theta_2, \phi_1 \le \phi \le \phi_2 ,\rho_1(\theta,\phi ) \le \rho \le \rho_2( \theta,\phi ) \} $
แล้ว $$\int \int\int_E f(x,y,z) dV = \quad \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\int_{\rho_1(\theta,\phi )}^{\rho_2(\theta,\phi)} f(\rho sin \phi cos \theta, \rho sin \phi sin \theta,\rho cos \phi ) \rho^2 sin \phi d \rho d \phi d \theta $$

ตัวอย่าง

จงหาค่า $\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2) dz dy dx $

วิธีทำ

จากขอบเขตของปริพันธ์ ทำให้ได้ $E=\{(x,y,z) : -1 \le x \le 1 , -\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2} , -\sqrt{1-x^2 -y^2 } \le z \le \sqrt{1-x^2 -y^2 } \}$
สามารถแปลงเป็นพิกัดทรงกลมได้เป็น
$E=\{(\rho,\theta,\phi) : 0 \le \theta \le 2 \pi , 0 \le \phi \le \pi , 0 \le \rho \le 1 \}$
ดังนั้น $\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2) dz dy dx \quad = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 (\rho^2) \rho^2 sin \phi d \rho d \phi d \theta \quad = \frac{4 \pi}{5}$

T = Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination'])
r, phi, theta = var('r phi theta')
[r,theta,phi]=[2,pi/3,pi/4]
T.transform(radius=r, azimuth=theta, inclination=phi)

(1/2*sqrt(2), 1/2*sqrt(3)*sqrt(2), sqrt(2))

T = Spherical('radius', ['azimuth', 'inclination'])
r, phi, theta = var('r phi theta')
plot3d(1, (theta, 0, 2*pi), (phi, 0, pi), transformation=T)