ค่าสูงสุดต่ำสุด

นิยาม

$N_{ \delta} (a,b) = \{ (x,y) : \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta \}$ เมื่อ $\delta > 0 $

นิยาม

ให้ $f(x,y) $เป็นฟังก์ชันสองตัวแปร จะเรียกจุด $(a,b) $ ว่า

ทฤษฎีบท

ถ้า $f(x,y) $ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ จุด $ (a,b) $ และอนุพันธ์ย่อย อันดับ หนึ่ง ของ $f(x,y) $ ที่จุด $ (a,b) $ หาค่าได้ แล้วจะได้ว่า $$ f_x (a,b) = 0 = f_y (a,b) $$ บทกลับ ของทฤษฎีบทไม่จริง นั่นคือ มีจุด $(a,b) $ ที่ทำให้ $ f_x (a,b) = 0 = f_y (a,b) $ แต่ $f(a,b) $ ไม่ใช่ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ตัวอย่าง

$f(x,y) = x^2-y^2 $ จะเห็นได้ว่า $f_x (x,y) = 2x , \quad f_y (x,y) = -2y $
ดังนั้น $f_x (0,0) = 2(0) = 0 , \quad f_y (0,0) = -2(0) = 0 $
แต่ จุด $ (0,0) $ ไม่ได้ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ ไม่ได้ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
หรือ กล่าวได้ว่า $f(0,0) = 0 $ ไม่ใช่ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ ไม่ใช่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

นิยาม

ให้ $f(x,y) $เป็นฟังก์ชันสองตัวแปร จะเรียกจุด $(a,b) $ ว่า จุดวิกฤติ ถ้า $ f_x (a,b) = 0 = f_y (a,b) $

ทฤษฎีบท (การทดสอบจุดวิกฤติ)

ให้ $f(x,y) $ เป็นฟังก์ชันสองตัวแปรที่ อนุพันธ์ย่อย อันดับ สอง ของ $f(x,y)$ หาค่าได้ และ ต่อเนื่องบน $ N_{ \delta } (a,b) $ บาง $\delta > 0 $
ถ้า $ f_x (a,b) = 0 = f_y (a,b) $ นั่นคือ $(a,b) $ เป็นจุดวิกฤติ
จะพิจารณา ค่า $ D=D(a,b) = f_{xx} (a,b) \cdot f_{yy} (a,b) - [f_{xy} (a,b) ] ^2 $ ดังนี้
  1. ถ้า $D > 0 $ และ $f_{xx} (a,b) > 0 $ แล้วสรุปได้ว่า $f(a,b)$ คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
  2. ถ้า $D > 0 $ และ $f_{xx} (a,b) < 0 $ แล้วสรุปได้ว่า $f(a,b)$ คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์
  3. ถ้า $D < 0 $ สรุปได้ว่า $f(a,b)$ ไม่ใช่ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ ไม่ใช่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เรียกค่าอานม้า

ตัวอย่าง

ให้ $f(x,y) = x+y+x^2 y + x y^2 $ จงหาจุดวิกฤติ และทดสอบจุดวิกฤติทั้งหมดว่าคือจุดอะไร

วิธีทำ

หา $f_x (x,y) = 1+2x y+ y^2 $ และ $f_y (x,y) = 1+ x^2 + 2 x y $
แก้ระบบสมการ $ 1+2x y+ y^2 \quad = 0 $ และ $ 1+ x^2 + 2 x y \quad =0 $
ได้ จุด $(-1,1) \quad (1,-1) $ ซึ่งเป็นจุดวิกฤติ
ทดสอบจุดวิกฤติ โดย หาอนุพันธ์ย่อย อันดับ สอง ได้
$f_{xx} = 2 y \quad f_{xy} = 2 x+2y $ และ $f_{yy} = 2 x $
หาค่า $D(x,y) = f_{xx} (x,y) \cdot f_{yy} (x,y) - [f_{xy} (x,y) ] ^2 \\ = -4(x^2+xy+y^2) $
ทดสอบจุด $(-1,1) $
$D(-1,1) = -4( (-1)^2 +(-1)(1)+(1)^2 = -4 < 0 $
  ดังนั้น จุด $(-1,1) $ เป็นจุด อานม้า
ทดสอบจุด $(1,-1) $
$D(1,-1) = -4( (1)^2 +(1)(-1)+(-1)^2 = -4 < 0 $
  ดังนั้น จุด $(1,-1) $ เป็นจุด อานม้า
สามารถใช้โปรแกรม SageMath เพื่อดู กราฟ ฟังก์ชัน ดังนี้
สามารถใช้โปรแกรม SageMathช่วยคำนวณ ดังนี้

แบบฝึกหัด