ให้ $$ f(x,y) = \left \{ \begin{array}{ll} \frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2} & if (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & if (x,y) = 0 \end{array} \right.$$
จงหาค่า
- $ f_x (x,y) , f_y (x,y) $ เมื่อ $(x,y) \neq 0 $
- $f_x(0,0) , f_y(0,0) $
- $f_{xy} (0,0) , f_{yx} (0,0) $
วิธีทำ
เมื่อ $(x,y) \neq 0 $ จะได้
$ f_x (x,y) = \frac{(x^2+y^2)(3x^2y-y^3)-(x^3y-xy^2)(2x)}{(x^2+y^2)^2} $ และ
$ f_y (x,y) = \frac{(x^2+y^2)(x^3-3xy^2)-(x^3y-xy^2)(2y)}{(x^2+y^2)^2} $
$ f_x(0,0) = lim_{h \to 0 } \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = lim_{h \to 0 } \frac{0}{h} = 0 $ และ
$ f_y(0,0) = lim_{k \to 0 } \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = lim_{k \to 0 } \frac{0}{k} = 0 $
$f_{xy} (0,0) = lim_{k \to 0 } \frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k} = lim_{k \to 0 } \frac{-k}{k} = -1 $
$f_{yx} (0,0) = lim_{h \to 0 } \frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h} = lim_{h \to 0 } \frac{h}{h} = 1 $