อนุพันธ์ arcsec

$$ \frac{d}{dx} arcsec x = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \\ $$
วิธีทำ

\begin{align} ให้ y = arcsec x จะได้ว่า sec y = x \\ ดังนั้น \frac{d}{dx} secy & \cssId{Step1}{= \frac{d}{dx} x = 1 } \\ &\cssId{Step2}{ \sec y \tan y \frac{d}{dx} y = 1 }\\ &\cssId{Step3}{ \frac{d}{dx} y = \frac{1}{\sec y \tan y } } \\ &\cssId{Step4}{ = \frac{1}{ x \tan y } } \\ \cssId{Step5}{ ถ้า x > 0 แล้ว \tan y > 0 ดังนั้น tan y = \sqrt{\sec ^2 y -1} = \sqrt{x^2 -1} } \\ \cssId{Step6}{ ถ้า x < 0 แล้ว \tan y < 0 ดังนั้น tan y = -\sqrt{\sec ^2 y -1} = -\sqrt{x^2 -1} } \\ \cssId{Step7}{ นั่นคือ ถ้า x > 0 แล้ว \frac{d}{dx} y = \frac{1}{ x \tan y } = \frac{1}{ x \sqrt{x^2 -1} } } \\ \cssId{Step8}{ นั่นคือ ถ้า x < 0 แล้ว \frac{d}{dx} y = \frac{1}{ x \tan y } = \frac{1}{ - x \sqrt{x^2 -1} } } \\ \cssId{Step9}{ จากนิยาม |x| สามารถสรุปได้ว่า \frac{d}{dx} y = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 -1} } } \\ \end{align}