ปริพันธ์ฟังก์ชันตรรกยะ

$$ \int \frac{x+4}{x^3+x} dx \\ $$
วิธีทำ \begin{align} & \cssId{Step1}{ \frac{x+4}{x^3+x} = \frac{x+4}{x(x^2+1)} }\\ & \cssId{Step2}{ = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} } \\ & \cssId{Step3}{ = \frac{A(x^2+1) +(Bx+C)x }{x(x^2+1)} } \\ &\cssId{Step4}{ ดังนั้น \quad x+4 = A(x^2+1) +(Bx+C)x } \\ &\cssId{Step5}{แทนค่า \quad x= 0 \quad ได้ \quad 4 = A(1) } \\ &\cssId{Step6}{ ดังนั้น \quad A = 4 } \\ &\cssId{Step7}{ แทนค่า \quad x= -1 \quad ได้ \quad 3 = 4(2)+(-B+C)(-1) } \\ &\cssId{Step8}{ แทนค่า \quad x= 1 \quad ได้ \quad 5 = 4(2)+(B+C)(1) } \\ &\cssId{Step9}{ จากสมการทั้งสองข้างบน ได้ \quad B= -4 \quad และ \quad C =1 } \\ &\cssId{Step10}{ ดังนั้น \quad \frac{x+4}{x^3+x} = \frac{4}{x}+\frac{-4x+1}{x^2+1} } \\ &\cssId{Step11}{ได้ว่า \quad \int \frac{x+4}{x^3+x} dx = \int (\frac{4}{x}-2\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1} ) dx } \\ &\cssId{Step12}{ = 4\ln |x| -2 \ln (x^2+1) +\arctan x +C } \\ \end{align}