ตัวอย่าง 2  พิจารณาลำดับ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,........

ซึ่งมีชื่อเรียกว่า ลำดับฟิโบนักซี (Fibonacci sequqnce) ซึ่งกำหนดพจน์ที่ n ดังนี้
        u₁ = 1, u₂ = 2
  u_n = u_n-1 + u_n-2     สำหรับจำนวนเต็มบวก n ซึ่ง $ n \geq 3$
 จงพิสูจน์ว่า u_n <  (7/4)ⁿ   เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

วิธีทำ

สำหรับ แต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความ u_n < (7/4)ⁿ
1) เนื่องจาก u₁ <   (7/4) และ u₂  <  $ ( \frac{7}{4} )^2 \approx 3.06 $ ดังนั้น P(1) และ P(2) เป็นจริง
2) สำหรับจำนวนเต็มบวก $ k \geq 3 $ สมมติว่า P(3), P(4),......., P(k) เป็นจริง
จะพิสูจน์ว่า P(k+1) เป็นจริง
จาก $ u_{k+1} = u_k+ u_{k-1} $

และข้อสมมติ  จะได้ว่า $ u_k < (\frac{7}{4} )^k $
และ $ u_{k-1} < (\frac{7}{4} )^{k-1} $

ดังนั้น $ u_{k+1} < (\frac{7}{4} )^{k} +(\frac{7}{4} )^{k-1} = (7/4)^{k-1} \frac{11}{4} $
เนื่องจาก $\frac{11}{4} < \frac{49}{16} = (\frac{7}{4})^2 $
ดังนั้น  $ u_{k+1} < (\frac{7}{4} )^{k-1} (\frac{7}{4})^2 = (\frac{7}{4})^{k+1} $
แสดงว่า P(k+1) เป็นจริง โดยทฤษฎีบท1.4 จะได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n