ทฤษฎีบท 1.1 (First principle
of Finite induction)
ถ้า S เป็นสับเซตของ N และ S มีคุณสมบัติดังนี้
1) $ 1 \in S $
2) $ ถ้า k \in S
แล้ว k + 1 \in S $
จะได้ว่า S = N
พิสูจน์
สมมติว่า $ S \neq N $
พิจารณาเซต $ T = N - S $
ดังนั้น $ \phi \neq T \subset N $
จากการเรียงลำดับอย่างดีของจำนวนนับ จะได้ว่า
T ต้องมีสมาชิกที่มีค่าน้อยที่สุด ให้ชื่อว่า m
จาก $ 1 \in S $ ดังนั้น $ m \neq 1$ จึงได้ว่า $ m > 1$ และทำให้ได้ว่า $ m -1 $ เป็นจำนวนนับ แต่ไม่อยู่ใน T
ดังนั้น $ m-1 \in S $ จากข้อ 2) ได้ว่า $ (m-1)+ 1 \in S $ เกิดข้อขัดแย้ง