อนุพันธ์ระบุทิศ

บทนิยาม

ให้ $f(x,y) $ เป็นฟังก์ชัน สองตัวแปรที่หาอนุพันธ์ได้ที่จุด $(x_0 ,y_0) $ และ $\vec u = < a,b> $ เป็นเวกเตอร์หน่วยบนระนาบ แล้ว
อนุพันธ์ระบุทิศของ $f(x,y) $ ที่จุด $(x_0 ,y_0) $ ในทิศทางของ $\vec u = < a,b> $ กำหนดโดย
$$ D_{\vec u} f(x_0,y_0) = lim_{h \to 0 } \frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h} $$ เมื่อลิมิตหาค่าได้

ข้อสังเกต

ทฤษฎีบท

ให้ $f(x,y) $ เป็นฟังก์ชัน สองตัวแปรที่หาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ $x$ เทียบกับ $y$ ได้ ดังนั้น อนุพันธ์ระบุทิศของ $f(x,y)$ ในทิศทางของ $\vec u = < a,b> $
$$ D_{\vec u} f(x,y) = f_x(x,y) a + f_y(x,y) b $$

ตัวอย่าง

ให้ $f(x,y) = x^2-xy+3y^2 $ จงหา $D_{\vec u} f(-1,2) $ เมื่อ $\vec u = <\frac{3}{5},\frac{4}{5}>$

วิธีทำ

จาก $f(x,y) = x^2-xy+3y^2 $ จะได้
$f_x(x,y) = 2x-y $ และ $f_y (x,y) = -x+6y $
ดังนั้น $f_x(-1,2) = -4 $ และ $f_y (-1,2) = 13 $
นั่นคือ $D_{\vec u} f(-1,2) = f_x(-1,2) \frac{3}{5} + f_y(-1,2) \frac{4}{5} = -4 \frac{3}{5} + 13 \frac{4}{5} = 8 $
กรณีของฟังก์ชันสามตัวแปรพิจารณาได้ในทำนองเดียวกัน กล่าวคือ อนุพันธ์ของ $f(x,y,z) $ ที่จุด $(x_0 ,y_0,z_0) $ ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วย $\vec u = < a,b,c> $ กำหนดโดย
$$ D_{\vec u} f(x_0,y_0,z_0) = lim_{h \to 0 } \frac{f(x_0+ah,y_0+bh,z_0+ch)-f(x_0,y_0,z_0)}{h} $$ เมื่อลิมิตหาค่าได้
และได้ว่า $$ D_{\vec u} f(x,y,z) = f_x(x,y,z) a + f_y(x,y,z) b +f_z(x,y,z) c$$

ตัวอย่าง

ให้ $f(x,y,z) = x^2 y +y^2 z $ จงหา $D_{\vec u} f(1,2,3) $ เมื่อ $\vec u = <\frac{2}{3},\frac{-1}{3},\frac{2}{3}>$

วิธีทำ

จาก $f(x,y,z) = x^2 y + y^2 z $ จะได้
$f_x(x,y,z) = 2xy , f_y (x,y,z) = x^2+2yz $ และ $f_z (x,y,z) = y^2 $
ดังนั้น $f_x(1,2,3) = 4 , f_y (1,2,3) = 13 $ และ $f_z (1,2,3) = 4 $
นั่นคือ $D_{\vec u} f(1,2,3) = f_x(1,2,3) \frac{2}{3} + f_y(1,2,3) \frac{-1}{3}+f_z(1,2,3) \frac{2}{3} = 4 \frac{2}{3} + 13 \frac{-1}{3} +4 \frac{2}{3}= 1 $

เวกเตอร์เกรเดียนต์

บทนิยาม

ตัวอย่าง

ให้ $f(x,y) = \sin x \cos y $ จงหาค่า $\vec \nabla f $ และ $\vec \nabla f(0,\pi) $

วิธีทำ

$\vec \nabla f(x,y) = < f_x(x,y),f_y(x,y) > =< \cos x \cos y , -\sin x \sin y > $
$\vec \nabla f(0,\pi) = < \cos 0 \cos \pi , -\sin 0 \sin \pi > = < -1,0 >$
จาก นิยามเวกเตอร์เกรเดียนต์ ทำให้ได้ว่า $$ D_{\vec u} f(x,y) = \vec \nabla f(x,y) \cdot \vec u$$ $$ D_{\vec u} f(x,y,z) = \vec \nabla f(x,y,z) \cdot \vec u$$
จาก $ D_{\vec u} f(x,y) = \vec \nabla f(x,y) \cdot \vec u = | \vec \nabla f(x,y) | | \vec u | \cos \theta = | \vec \nabla f(x,y) | \cos \theta $ และ
$-1 \leq \cos \theta \leq 1 $ ทำให้ได้

สมบัติบางประการของเวกเตอร์เกรเดียนต์

  1. ถ้า $ \vec \nabla f(x_0,y_0) = \vec 0 $ แล้ว $ D_{\vec u} f(x_0,y_0) = 0 $ ทุกเวกเตอร์หน่วย $\vec u $
  2. ถ้า $ \vec \nabla f(x_0,y_0) \neq \vec 0 $ แล้ว
    $ D_{\vec u} f(x_0,y_0) $จะมีค่ามากที่สุดเมื่อทิศทางของเวกเตอร์ $\vec u $ ไปทางเดียวกันกับ เวกเตอร์ $ \vec \nabla f(x_0,y_0) $ และ
    ค่ามากที่สุดของ$ D_{\vec u} f(x_0,y_0) $คือ $ | \vec \nabla f(x_0,y_0) |$
  3. ถ้า $ \vec \nabla f(x_0,y_0) \neq \vec 0 $ แล้ว
    $ D_{\vec u} f(x_0,y_0) $จะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อทิศทางของเวกเตอร์ $\vec u $ ตรงข้ามกันกับ เวกเตอร์ $ \vec \nabla f(x_0,y_0) $ และ
    ค่าน้อยที่สุดของ$ D_{\vec u} f(x_0,y_0) $คือ $- | \vec \nabla f(x_0,y_0) |$

ตัวอย่าง

จงหาทิศทางที่จะทำให้ อนุพันธ์ระบุทิศของฟังก์ชัน $f(x,y) = 5xy^2$ ที่จุด $(3,2)$ มีค่ามากที่สุด และจงหาค่ามากที่สุดด้วย

วิธีทำ

$ \vec \nabla f(x,y) = < 5y^2,10xy > $
$ \vec \nabla f(3,2) = < 20,60 > $
$ | \vec \nabla f(3,2) | = \sqrt{400+3600} = 20\sqrt{10} $
ดังนั้น เวกเตอร์หน่วย $\vec u = < \frac{1}{\sqrt{10}} , \frac{3}{\sqrt{10}}$
และค่ามากที่สุดของ $ D_{\vec u} f(3,2) $คือ $ 20\sqrt{10} $

ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดโดย วิธีตัวคูณของลากรองจ์

ทฤษฎีบท

ให้ $ f(x,y) $ และ $ g(x,y) $ เป็นฟังก์ชันสองตัวแปรที่อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งมีความต่อเนื่องบนเซตเปิดที่คลุมเส้นโค้งเรีบย $ g(x,y) = k $
ถ้า $ f(x,y) $ มีค่าสุดขีดสอดคล้องเงื่อนไข $g(x,y) = k $ที่ $(x_0,y_0) $ และ $ \vec \nabla g(x_0,y_0) \neq 0 $ แล้ว
จะมีจำนวนจริง $\lambda $ ซึ่งเรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์ ที่ทำให้ $$ \vec \nabla f(x_0,y_0) = \lambda \vec \nabla g(x_0,y_0) $$

ตัวอย่าง

ให้ $f(x,y) = 9x^2+36xy-4y^2-18x-8y $ จงหาค่าสุดขีดของ $ f(x,y) $ บนเส้นตรง $3x+4y=32 $

วิธีทำ

$ \vec \nabla f(x,y) = < 18x +36y -18 ,36x-8y-8 >$
$ \vec \nabla g(x,y) = < 3 , 4>$
วิธีตัวคูณของลากรองจ์ จะมี $\lambda $ ทำให้ $ \vec \nabla f(x_0,y_0) = \lambda \vec \nabla g(x_0,y_0) $ นั่นคือ
$18x_0+36y_0-18 = 3 \lambda $ ---------(1)
$36x_0-8y_0-8 = 4 \lambda $ ......................(2)
และภายใต้เงื่อนไข
$ 3x_0+4y_0 = 32 $.............(3)
จะได้ $x_0 = 8 ,y_0 =2 $
ดังนั้น $f(8,2) = 9(8)^2+36(8)(2)-4(2)^2-18(8)-8(2) = 976 $ เป็นค่าที่มากที่สุด
ลองตรวจสอบ $ f(0,8) $ และ $f(4,5) $ ซึ่ง จุด $(0,8) ,(4,5) $ อยู่บนเส้นตรง $3x+4y = 32$
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้

ตัวอย่าง

ให้ $f(x,y,z) = 2x+2y+z $ จงหาค่าสุดขีดของ $ f(x,y,z) $ บนทรงกลม $ x^2+y^2+z^2=9 $

วิธีทำ

$ \vec \nabla f(x,y,z) = < 2,2,1 >$
$ \vec \nabla g(x,y,z) = < 2x , 2y,2z>$
วิธีตัวคูณของลากรองจ์ จะมี $\lambda $ ทำให้ $ \vec \nabla f(x,y,z) = \lambda \vec \nabla g(x,y,z) $ นั่นคือ
$2 = 2x \lambda $ ---------(1)
$2 = 2y \lambda $ ......................(2)
$1= 2z \lambda $ ................(3) และภายใต้เงื่อนไข
$ x^2+y^2+z^2 = 9 $.............(4)
จะได้ $ \lambda = \pm \frac{1}{2} $ ได้จุด $ (2,2,1) $ และ $(-2,-2,-1) $ เป็นจุดที่ให้ค่าสุดขีด
ดังนั้น $f(2,2,1) = 9 $ เป็นค่าที่มากที่สุด และ
$f(-2,-2,-1) = -9 $ เป็นค่าที่น้อยที่สุด ลองตรวจสอบ $ f(3,0,0) , f(0,3,0) $ และ $f(0,0,3) $
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้