เคิร์ล และ ไดเวอร์เจนซ์ (Curl and divergence)

ให้ $$ \vec{F} (x,y,z) = < P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z)> = P(x,y,z) \vec {i} + Q(x,y,z) \vec j + R(x,y,z) \vec k $$ เป็นสนามเวกเตอร์ บน $ \mathbb{R} ^3 $ และ $ P, Q, R $ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งหาค่าได้ต่อเนื่องบน $ \mathbb{R} ^3 $
นิยาม เคิร์ล ของสนามเวกเตอร์ $ \vec{F} $ คือ $$ curl \vec{F} = < \frac{ \partial {R} } {\partial {y} } - \frac{ \partial {Q} } {\partial {z} } , \frac{ \partial {P} } {\partial {z} } - \frac{ \partial {R} } {\partial {x} } , \frac{ \partial {Q} } {\partial {x} } - \frac{ \partial {P} } {\partial {y} } > $$ และ
นิยาม ไดเวอร์เจนซ์ ของสนามเวกเตอร์ $ \vec{F} $ คือ $$ div \vec{F} = \frac{ \partial {P} } {\partial {x} } + \frac{ \partial {Q} } {\partial {y} } + \frac{ \partial {R} } {\partial {z} } $$ ให้ $ \nabla $ คือเวกเตอร์ การกระทำ กำหนดโดย $$ \nabla = \vec{i} \frac{ \partial {} } {\partial {x} } + \vec{j} \frac{ \partial {} } {\partial {y} } + \vec{k} \frac{ \partial {} } {\partial {z} } $$ แล้ว $$ \nabla f = \vec{i} \frac{ \partial {f} } {\partial {x} } + \vec{j} \frac{ \partial {f} } {\partial {y} } + \vec{k} \frac{ \partial {f} } {\partial {z} } $$ และ $$ \nabla \times \vec{F} = \left | \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ \frac{ \partial {} } {\partial {x} } & \frac{ \partial {} } {\partial {y} } & \frac{ \partial {} } {\partial {z} } \\ P & Q & R \end{array} \right | $$ $$ = ( \frac{ \partial {R} } {\partial {y} } - \frac{ \partial {Q} } {\partial {z} } ) \vec{i} + ( \frac{ \partial {P} } {\partial {z} } - \frac{ \partial {R} } {\partial {x} } ) \vec{j} + ( \frac{ \partial {Q} } {\partial {x} } - \frac{ \partial {P} } {\partial {y} } ) \vec{k} $$ ดังนั้น สามารถเขียน $$ curl \vec{F} = \nabla \times \vec { F } $$ และ $$ div \vec{F} = \nabla \cdot \vec { F } $$ สามารถใช้โปรแกรมช่วยในการหาค่า $ curl \vec{F} $ และ $ div \vec{F} $ ได้ดังนี้
ตัวอย่าง หาค่า $ curl \vec{F} $ และ $ div \vec{F} $ เมื่อ $ F = < xz , xyz, -y^2> $
โปรแกรม SageMath

ทฤษฎีบทที่สำคัญ