บทนิยาม 1.15 ให r เป็นความสัมพันธ์ทวิภาคบนเซต A เรียก r ว่า ความสัมพันธ์สมมูลบน A (equivalence relation on A )ถ้า r มีสมบัติดังนี้
1. (a,a) ฮ r สำหรับทุก a ฮ A (กฎการสะท้อน)
2. ถ้า (a,b) ฮ r แล้ว (b,a) ฮ r (กฎการสมมาตร)
3. ถ้า (a,b) ฮ r และ (b,c) ฮ r แล้ว (a,c) ฮ r (กฎการถ่ายทอด)
โดยทั่วไป นิยมเขียนแทนความสัมพันธ์สมมูล r ด้วย ~ และถ้า (a,b) ฮ ~ จะเขียนแทนด้วย a ~ b

บทนิยาม 1.16 ให้ ~ เป็นความสัมพันธ์สมมูลบน A ชั้นสมมูลของ a ฮ A (equivalence class of a) เขียนแทนด้วย [a] คือ เซต {x ฮ A | x~a} นั่นคือ [a] = {x ฮ A | x~a}
และจะใช้สัญลักษณ์ A/~ แทนเซตของชั้นสมมูลทั้งหมดของ ~ บน A
นั่นคือ A/~ = {[a] | a ฮ A}

คุณสมบัติของชั้นสมมูล
ให้ ~ เป็นความสมมูลบนเซต A จะได้ว่า
1. " a ฮ A, a ฮ [a] ดังนั้น [a] น ฦ
2. [a] = [b] ก็ต่อเมื่อ a ฮ [b] หรือ b ฮ [a]
3. แต่ละ a ,b ฮ A จะได้ว่า [a] = [b] หรือ [a] ว [b] = ฦ อย่างใดอย่างหนึ่ง
4. ศ_{[a] ฮ A/~}[a] = A

บทนิยาม 1.17 ให้ X เป็นเซตไม่ว่าง และ I เป็นเซตดรรชนี
P = { A_i | A_iฬ X, iฮ I } เรียกว่า ผลแบ่งกั้น (partition) ของ X ถ้า
1. ศ_iฮIA_i = X
2. A_i ว A_j = ฦ ถ้า i น j

ทฤษฎีบท 1.18 ถ้า ~ เป็นความสัมพันธ์สมมูลใด ๆ บนเซตซึ่งไม่ว่าง X แล้ว เซตของชั้นสมมูลที่ต่างกันทั้งหมดเป็นผลแบ่งกั้นของ X
ในทำนองกลับกัน
ถ้า P = {A_i | A_i ฬ X,i ฮ I} เป็นผลแบ่งกั้นของ X แล้ว สามารถนิยามความสัมพันธ์สมมูลบน X โดยที่แต่ละ A_i เป็นชั้นสมมูลได้
โดยกำหนดความสัมพันธ์สมมูล
ดังนี้ a ~ b ก็ต่อเมื่อ a,bฮ A_i สำหรับบางค่า iฮ I

บทนิยาม 1.19 จะเรียกความสัมพันธ์ r จากเซต A ไปเซต B ว่าฟังก์ชัน
ถ้า (x,y) ฮ r และ (x,z) ฮ r แล้ว y = z นั่นคือ ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ที่ไม่มีสมาชิกในพิกัดที่หนึ่งซ้ำกัน
ให้ f เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B ถ้า f เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง D_f = A และ R_f ฬ B
จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f: A ฎ B

บทนิยาม 1.20 กำหนด f เป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต B
1. f จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ f(x₁)=f(x₂) แล้ว x₁ = x₂ ทุก x₁,x₂ ฮ A
2. f จะเป็นฟังก์ชันไปบน (ไปทั่วถึง)เซต B ก็ต่อเมื่อ R_f = B

บทนิยาม 1.21 ให้ f: A ฎ B และ g: B ฎ C ฟังก์ชันประกอบของ f และ g (composite function of f and g) คือ ฟังก์ชัน gof : A ฎ C กำหนดโดย
gof(a) = g(f(a)) สำหรับทุก a ฮ A

บทนิยาม 1.22 ฟังก์ชันเอกลักษณ์ (identity function) บนเซต A เขียนแทนด้วย 1_A คือ
ฟังก์ชัน 1_A: A ฎ A ซึ่ง 1_A(a) = a สำหรับทุก a ฮ A

บทนิยาม 1.23 ฟังก์ชัน f: A ฎ B หาตัวผกผันได้ (invertible) ถ้ามีฟังก์ชัน g: B ฎ A ซึ่งgof = 1_A และ fog = 1_B เรียก g ว่าตัวผกผันของ f(inverse for f) และเขียนแทน g ด้วย f^-1

ทฤษฏีบท 1.24 ฟังก์ชันใด ๆ มีตัวผกผันได้อย่างมากฟังก์ชันเดียว

ทฤษฏีบท 1.25 ฟังก์ชัน f: A ฎ B หาตัวผกผันได้ ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึง

บทนิยาม 1.26 ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก a,b ฮ Z จะกล่าวว่า a สมภาคกับ b มอดุโล n
(a congruence b modulo n)เขียนแทนด้วย a บ b (mod n) ก็ต่อเมื่อ n|(a-b)
เรียก n ว่ามอดุลัส (modulus)

ทฤษฏีบท 1.27
1.สมภาค บ (mod n)เป็นความสัมพันธ์สมมูลบน Z และมีชั้นสมมูลที่แตกต่างกันทั้งหมด n ชั้น
2. ถ้า a บ b (mod n) และ c บ d (mod n) แล้ว a+c บ b+d (mod n)
และ ac บ bd (mod n)
3. ถ้า ab บ ac (mod n) และ gcd(a,n) = 1 แล้ว b บ c (mod n)

จาก ทฤษีบท 1.27 1. จะใช้ Z_n แทนเซตของชั้นสมมูลที่แตกต่างกันทั้งหมด n ชั้นและเรียกว่า
เซตของสมภาคมอดุโล n( set of integers modulo n )
นั่นคือ Z_n = { [0], [1], [2], ... ,[n-1] }

 ให้ [a],[b] ฮ Z_n จะกำหนดการบวก และ คูณ ดังนี้
[a]+[b] = [a+b]
[a][b] = [ab]

บทนิยาม 1.30 ให้ [a] ฮ Z_n ถ้ามี [b] ฮ Z_n-{[0]} ที่ทำให้ [a][b] = [0] แล้วจะเรียก [a] ว่าตัวหารของ 0 (divisor of zero)

บทนิยาม 1.31 ให้ [a] ฮ Z_n ถ้ามี [b] ฮ Z_n ที่ทำให้ [a][b] = [1] แล้วจะเรียก [b]ว่าตัวผกผันการคูณ (multiplicative inverse) ของ [a] และจะกล่าวว่า [a] และ [b]
เป็นสมาชิกที่หาตัวผกผันได้ (invertible) ของ Z_n

ทฤษฏีบท 1.32 ให้ n ฮ Z⁺
1. [a] มีตัวผกผันการคูณใน Z_n ก็ต่อเมื่อ gcd(a,n) = 1
2. ทุก [a] ฮ Z_nมีตัวผกผันการคูณ หรือ เป็นตัวหารของ 0

บทนิยาม 1.32 การดำเนินการทวิภาค (binary operation) บนเซต A ซึ่งไม่ใช่เซตว่าง หมายถึงฟังก์ชันจาก AxA ไปยัง A นั่นคือถ้า @ เป็นการดำเนินการทวิภาคดังนั้น
@ : AxA ฎ A และนิยมใช้สัญลักษณ์ a@b แทน @(a,b) ซึ่งเป็นค่าพิสัยของ (a,b)

ตัวอย่าง 1. บวก(+) และ คูณ (^.) เป็นการดำเนินการทวิภาคบนจำนวนจริง R
      2. บวก(+) และ คูณ (^.) ใน ทฤษีบท1.29 เป็นการดำเนินการทวิภาคบน Zn

บทนิยาม 1.33 ให้ @เป็นการดำเนินการทวิภาคบนเซต A ซึ่งไม่ใช่เซตว่าง
B ฬ A มีสมบัติปิดภายใต้ @ ก็ต่อเมื่อ a@b ฮ B ทุก a,b ฮ B

บทนิยาม 1.34 ให้ @เป็นการดำเนินการทวิภาคบนเซต A ซึ่งไม่ใช่เซตว่างจะกล่าวว่า
@ มีสมบัติเปลี่ยนหมู่ (associative) ก็ต่อเมื่อ (a@b)@c = a@(b@c) ทุก a,b,c ฮ A
@ มีสมบัติสลับที่ (commutative) ก็ต่อเมื่อ a@b = b@a ทุก a,b ฮ A

บทนิยาม 1.35 ให้ S เป็นเซตซึ่งไม่ใช่เซตว่าง @เป็นการดำเนินการทวิภาคบน S
จะกล่าวว่า (S,@) เป็นกึ่งกลุ่ม (semigroups) ถ้า @ มีสมบัติเปลี่ยนหมู่บน S