บทนิยาม2.1 (G,@) เปนกลุ่ม (group) เมื่อ G เป็นเซตที่ไม่ว่าง และ @ เป็นการดำเนินการทวิภาคบน G ซึ่งมีคุณสมบัติ ถ้า (G,@) เป็นกลุ่มที่ @ มีสมบัติสลับที่ แล้วจะเรียก (G,@) ว่ากลุ่มอาบีเลียน(abelian group) หรือ กลุ่มสลับที่ (commutative group)
ข้อตกลง ต่อไปอาจจะเขียน G เป็นกลุ่ม แทน (G,@) เป็นกลุ่ม และจะเขียน ab แทน a@b
ทฤษฎีบท 2.2 ถ้า G เป็นกลุ่ม แล้ว
1. สมาชิกเอกลักษณ์ของ G มีเพียงตัวเดียวเท่านั้น
2. แต่ละ a ฮ G มีตัวผกผันเพียงตัวเดียวเท่านั้น
3. แต่ละ a ฮ G , (a-1)-1 = a
4. แต่ละ a,b ฮ G ,(ab)-1 = b-1a-1
ทฤษฎีบท 2.3 ให้ G เป็นกลุ่ม และ a,b,c ฮ G จะได้ว่า
1. ถ้า ab = ac แล้ว b = c (เรียกสมบัตินี้ว่า กฎการตัดออกทางซ้าย (Left cancellation law))
2. ถ้า ba = ca แล้ว b = c (เรียกสมบัตินี้ว่า กฎการตัดออกทางขวา (right cancellation law))
ทฤษฎีบท 2.4 ให้ G เป็นกลุ่ม และ a,b ฮ G จะได้ว่า
1. สมการ ax = b จะมีผลเฉลยใน G เพียงหนึ่งผลเฉลยเท่านั้น
2. สมการ ya = b จะมีผลเฉลยใน G เพียงหนึ่งผลเฉลยเท่านั้น
บทนิยาม 2.5 กลุ่ม G เป็นกลุ่มอันตะ (finite group) ถ้าเซต G เป็นเซตอันตะ(finite set) และจะเรียกจำนวนสมาชิกใน G นี้ว่าอันดับของ G (order of G ) เขียนแทนด้วย |G|

บทนิยาม 2.6 กลุ่ม G เป็นกลุ่มอนันต์ (infinite group) ถ้าเซต G เป็นเซตอนันต์(infinite set)
บทนิยาม 2.7 ให้ (G,@) เป็นกลุ่ม n ฮ Z+ จะให้ความหมายว่า
1. a0 = e
2. an = a@a@...@a (a ดำเนินการกัน n ตัว)
และ 3. a-n = (a-1)n
บทนิยาม 2.8 ให้ (S,@) เป็นกึ่งกลุ่ม จะเรียก a ฮ S ว่าเป็นนิจพล(idempotent) ของ (S,@) ก็ต่อเมื่อ a@a = a
ทฤษฎีบท 2.9 ให้ G เป็นกลุ่ม จะได้ว่านิจพลของ G มีเพียงตัวเดียวเท่านั้น คือ สมาชิกเอกลักษณ์ของ G
ทฤษฎีบท 2.10 ให้ G เป็นกลุ่ม และ a ฮ G ,m,n ฮ Z จะได้ว่า
1. aman = am+n
2. (am)n = amn
บทนิยาม 2.11 ให้ (G,@) เป็นกลุ่ม H เป็นเซตย่อยของ G ที่ไม่ใช่เซตว่าง จะเรียก H ว่ากลุ่มย่อยของ G (subgroup of G) เขียนแทนด้วย H ฃ G ถ้า (H,@) เป็นกลุ่ม
ทฤษฎีบท 2.12 ให้ G เป็นกลุ่ม H เป็นเซตย่อยของ G ที่ไม่ใช่เซตว่าง สิ่งต่อไปนี้สมมูลกัน
1. H ฃ G
2. ถ้า a,b ฮ H แล้ว ab ฮ H และ a-1 ฮ H
3. ถ้า a,b ฮ H แล้ว ab-1 ฮ H
ทฤษฎีบท 2.13 ให้ G เป็นกลุ่ม H เป็นเซตย่อยของ G ที่ไม่ใช่เซตว่าง และ H เป็นเซตอันตะ จะได้ว่า H ฃ G ก็ต่อเมื่อ ถ้า a,b ฮ H แล้ว ab ฮ H
ทฤษฎีบท 2.14 ให้ G เป็นกลุ่ม H, K ฃ G จะได้ว่า H ว K ฃ G ด้วย

กลุ่มวัฏจักร (Cyclic group)
บทนิยาม 2.15 ให้ G เป็นกลุ่ม S เป็นเซตย่อยของ G ที่ไม่ใช่เซตว่างจะกำหนด <S> คือ เซตซึ่ง <S> = ว {H |H ฃ G และ S เป็นเซตย่อยของ H } คืออินเตอร์เซกชันของกลุ่มย่อยทั้งหมดของ G ซึ่งมี S เป็นเซตย่อย
ทฤษฎีบท 2.16 ให้ G เป็นกลุ่ม S เป็นเซตย่อยของ G ที่ไม่ใช่เซตว่าง จะได้ว่า <S> เป็นกลุ่มย่อยของ G ที่เล็กที่สุด ซึ่งมี S เป็นเซตย่อย และเรียกกลุ่ม <S> นี้ว่า กลุ่มย่อยของ G ที่ก่อกำเนิดโดยเซต S (The subgroup of G generated by the set S) ทฤษฎีบท 2.17 ให้ G เป็นกลุ่ม และ a ฮ G จะได้ว่า <a> = {an|n ฮ Z}
บทนิยาม 2.18 ให้ G เป็นกลุ่ม จะเรียก G ว่า กลุ่มวัฏจักร(cyclic group) ถ้ามี a ฮ G ทำให้ได้ว่า G = <a> และเรียก a นี้ว่า ตัวก่อกำเนิด(generator) ของ G
บทนิยาม 2.19 ให้ G เป็นกลุ่ม และ a ฮ G จะกล่าวว่า a มีขนาดอันตะ (finite order) ถ้ามีจำนวนเต็มบวก m ที่ทำให้ am = e และจะเรียกจำนวนเต็มบวก n ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ an = e ว่าขนาดของ a เขียนแทนด้วย o(a) และจะกล่าวว่า a มีขนาดอนันต์ ถ้าไม่มีจำนวนเต็มบวก m ที่ทำให้ am = e
ทฤษฎีบท 2.20 ให้ G เป็นกลุ่ม และ a ฮ G
1. ถ้า a มีขนาดอนันต์ และ am = ak แล้ว k = m
2. ถ้า a มีขนาดอันตะ และ k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า ak = e ก็ต่อเมื่อ o(a)|k
3. ถ้า a มีขนาดอันตะ ให้ o(a) = n จะได้ว่า สำหรับจำนวนเต็ม k,m ak = am ก็ต่อเมื่อ k บ m (mod n) ทำให้ได้ว่า |<a>| = o(a)
ทฤษฎีบท 2.21 ถ้า G เป็นกลุ่มวัฏจักรแล้ว G เป็นกลุ่มอาบีเลียน
ทฤษฎีบท 2.22 กลุ่มย่อยของกลุ่มวัฏจักรเป็นกลุ่มวัฏจักร
ทฤษฎีบท 2.23 ถ้า G = <a> เป็นกลุ่มวัฏจักรซึ่งมี a เป็นตัวก่อกำเนิด และ o(a) = n แล้ว G = <a> = { e,a,a2,...,an-1} และ |G| = n
ทฤษฎีบท 2.24 G เป็นกลุ่มวัฏจักรขนาด n ก็ต่อเมื่อ G มีสมาชิก a ที่มีขนาด n และ G = <a>
ทฤษฎีบท 2.25 ให้ G = <a> เป็นกลุ่มวัฏจักรซึ่งมีขนาด n แล้ว ak เป็นตัวก่อกำเนิดของ G ก็ต่อเมื่อ gcd(k,n) = 1
ทฤษฎีบท  2.26      ให้   G   เป็น   cyclic     group     ที่มีขนาดอนันต์   แล้ว  G    จะมีตัวก่อกำเนิดได้เพียง  2   ตัวเท่านั้น
                               (  คือถ้า   a   เป็นตัวก่อกำเนิดแล้ว  a-1   จะเป็นตัวก่อกำเนิดอีกตัวเท่านั้น )