กลุมการจัดลำดับ (Permutation Groups) บทนิยาม ให้ S เป็นเซตที่ไม่ว่าง จะเรียกฟังก์ชัน f: S ฎ S ว่าการจัดลำดับบนเซต S (permutation on S) ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก S ไปทั่วถึง S

ให้ Sym(S) แทนเซตของการจัดลำดับทั้งหมดบนเซต S
และ S_n แทนเซตของการจัดลำดับทั้งหมดบนเซตอันตะ S ที่มีสมาชิก n ตัว
ถ้า f,g เป็นการจัดลำดับบนเซต S ผลคูณของ f และ g ซึ่งเขียนแทนด้วย fg คือฟังก์ชันประกอบ gof

ทฤษฏีบท Sym(S) เป็นกลุ่มภายใต้การคูณของการจัดลำดับ และเรียกว่ากลุ่มสมมาตรและ
จะเรียกกลุ่ม S_n ว่ากลุ่มสมมาตรบนสมาชิก n ตัว (symmetric group on n element)
บทนิยาม ให้ S เป็นเซตที่ไม่ว่าง f ฮ Sym(S) จะเรียกว่า k-รอบ (k-cycle) หรือ รอบที่มีความยาว k (cycle of length k ) ถ้ามีสมาชิก a₁,a₂,..,a_kฮ S ทำให้
f(a₁) = a₂, f(a₂)= a₃,...,f(a_k-1)=a_k,f(a_k)= a₁ และ f(x) = x ทุก x ฮ S-{a₁,a₂,..,a_k } และเขียนแทนด้วย f = ( a₁ a₂ ... a_k )

อาจเขียนแทน f ในนิยามด้วย f = ( a₂ a₃ ... a_k a₁) หรือ f = (a₃ a₄ ... a₁ a₂)
หรือ ...f = (a_k a₁ ... a_k-2 a_k-1) ซึ่งเขียนได้ k วิธีที่แตกต่างกันขึ้นกับตัวเริ่มต้น
และถ้า k = 1 จะเขียนแทนด้วย (1) ซึ่งคือการจัดลำดับเอกลักษณ์หรือคือฟังก์ชันเอกลักษณ์

บทนิยาม ให้ f = ( a₁ a₂ ... a_k ) และ g = ( b₁ b₂ ... b_m ) เป็นรอบใน Sym(S) จะเรียก f และ g ว่ารอบที่ไม่มีส่วนร่วม (disjoint cycle) ถ้า a_i น b_j ทุก i,j และ ถ้า f ฮ Sym(S) - {(1)} แล้ว f จะไม่มีส่วนร่วมกับ (1)
ทฤษฏีบท ถ้า f,g ฮ Sym(S) เป็นรอบที่ไม่มีส่วนร่วม แล้ว fg = gf
ทฤษฏีบท การจดลำดับใด ๆ ใน S_n ซึ่งไม่ใช่การจัดลำดับเอกลักษณ์ สามารถเขียนในรูปผลคูณของรอบที่ไม่มีส่วนร่วมซึ่งมีความยาวมากกว่า 1 ได้เพียงวิธีเดียว(ถ้าไม่คำนึงถึงลำดับของผลคูณของรอบในผลคูณ)
บทนิยาม รอบ (a₁ a₂) ที่มีความยาว 2 จะเรียกว่า คู่สลับ (transposition)

รอบ ( a₁ a₂ ... a_n ) สามารถเขียนในรูปผลคูณของคู่สลับได้คือ
( a₁ a₂ ... a_n ) = (a₁ a₂)(a₁ a₃)(a₁ a₄)...(a₁ a_n)

บทนิยาม การจัดลำดับคู่ (even permutation) หมายถึงการจัดลำดับซึ่งสามารถเขียนในรูปผลคูณของคู่สลับจำนวนคู่ และ การจัดลำดับคี่ (odd permutation) หมายถึงการจัดลำดับซึ่งสามารถเขียนในรูปผลคูณของคู่สลับจำนวนคี่
ทฤษฏีบท ให้ A_n เป็นเซตของการจัดลำดับคู่ทั้งหมดใน S_n (n >1) แล้ว A_n เป็นกลุ่มย่อยของ S_n ที่มี |A_n | = n!/2 เรียกกลุ่ม A_n นี้ว่ากลุ่มสลับบนสมาชิก n ตัว (alternating group on n element)