กลุม สาทิสสัณฐาน (Group Homomorphisms)
บทนิยาม ให้ (G,*) ,(G',#) เป็นกลุ่ม จะเรียกฟังก์ชัน
f:G ฎ G' ว่า กลุม สาทิสสัณฐาน(group homomorphism)
ถ้า f(a*b) = f(a)#f(b) ทุก a,b ฮ G
บทนิยาม ให้ (G,*) ,(G',#) เป็นกลุ่ม จะเรียกฟังก์ชัน
f:G ฎ G' ว่า กลุม สมสัณฐาน (group
isomomorphism) ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ f(a*b) = f(a)#f(b)
ทุก a,b ฮ G
และจะกล่าวว่ากลุม (G,*) สมสัณฐาน(isomorphic) กับ (G',#) เขียบแทนด้วย
G @ G' ถ้า มีฟังก์ชัน f:G ฎ
G' ที่เป็นสมสัณฐาน และ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง G'
ทฤษฎีบท ให้ f:G ฎ
G' เป็น กลุม สาทิสสัณฐาน จะได้ว่า
1. f(e) = e' เมื่อ e และ e' เป็นเอกลักษณ์ของ G และ G' ตามลำดับ
2. f(a-1) = (f(a))-1 ทุก a ฮ
G
3. f(an) = (f(a))n ทุก a ฮ
G
และ n ฮ Z
4. o(f(a)) | o(a)
บทนิยาม ให้ f:G ฎ
G' เป็น กลุม สาทิสสัณฐาน จะเรียกเซต {x ฮ G
| f(x) = e'เมื่อ e'เปนเอกลักษณ์ของ G'} ว่าส่วนกลางของ f (kernal of
f) และเขียนแทนด้วย ker(f)
ทฤษฎีบท ให้ f:G ฎ
G' เป็น กลุม สาทิสสัณฐาน จะได้ว่า
1. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ ker(f) = {e}
2. ker(f) เป็นกลุ่มย่อยปรกติของ G
ทฤษฎีบท ให้ f:G ฎ
G' เป็น กลุม สาทิสสัณฐาน จะได้ว่า
1. ถ้า H เป็นกลุ่มย่อยของ G แล้ว f(H) เป็นกลุ่มย่อยของ G'
2. ถ้า f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง และ H เป็นกลุ่มย่อยปรกติของ G แล้ว f(H)
เป็นกลุ่มย่อยปรกติของ G'
3. ถ้า H' เป็นกลุ่มย่อยของ G' แล้ว f-1(H') = {x ฮ
G
| f(x) ฮ H'} เป็นกลุ่มย่อยของ G
4. ถ้า H' เป็นกลุ่มย่อยปรกติของ G' แล้ว f-1(H') เป็นกลุ่มย่อยปรกติของ
G
ทฤษฎีบท ให้ G เป็นกลุ่มวัฏจักร
1. ถ้า G เป็นกลุ่มอนันต์แล้ว G @ Z
2. ถ้า G เป็นกลุ่มอันตะที่มีขนาด n แล้ว G @ Zn
ทฤษฎีบท ให้ N เป็นกลุ่มย่อยปรกติของ G กำหนดฟังก์ชัน
p:G
ฎ
G/N โดย p(x) = xN ทุก x ฮ
G จะได้ว่า p เป็น กลุม สาทิสสัณฐาน
จาก G ไปทั่วถึง G/N และ ker(p) = N จะเรียกฟังก์ชัน
p
ว่าสาทิสสัณฐานโดยธรรมชาติ(natural homomorphism)
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทหลักมูลของสาทิสสัณฐาน Fundamental
Homomorphism Theorem)
ให้ f:G ฎ G' เป็น กลุม สาทิสสัณฐาน จะได้ว่า
G/Ker(f) @ f(G)
กรณีที่ f เป็นฟังก์ชันทั่วถึงจะได้ว่า G/Ker(f) @
G'
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทของเคย์เลย์ Cayley's Theorem)
กลุ่ม G ใด ๆ สมสัณฐานกับกลุ่มย่อยของ Sym(G)