บทนิยาม 1.1 ให้ m, n น
0 เป็นจำนวนเต็ม n หาร m ลงตัวก็ต่อเมื่อ มี c ฮ
Z ซึ่ง m = nc
เรียก n ว่า ตัวหาร (divisor) ตัวหนึ่งของ m ใช้ n|m แทน " n หาร m ลงตัว
"
ทฤษฎีบท 1.2 สำหรับจำนวนเต็ม a, b, c ใด
ๆ จะได้ว่า
1. ถ้า a น 0 แล้ว a|0 , a|a
2. a|1 ก็ต่อเมื่อ a = 1 หรือ -1
3. ถ้า a |b และ c|d แล้ว ac | bd
4. ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c
5. ถ้า a|b แล้ว a|bc
6. ถ้า a|b ก็ต่อเมื่อ ac|bc ทุก
c น 0
7. ถ้า a |b และ b น 0
แล้ว |a|ฃ |b|
8. ถ้า a | b และ a|c แล้ว a | (bx +cy) ทุกจำนวนเต็ม x,
y
ทฤษฎีบท 1.3 ขั้นตอนวิธีการหาร(Division Algorithm)
ให้ m, n ฮ Z , n น
0 จะมีจำนวนเต็ม q , r ชุดเดียว ซึ่ง m = nq + r โดย 0 ฃ
r < | n | เรียก q ว่า ผลหาร (the quotient) และ r ว่า เศษ (the remainder)
บทนิยาม 1.4 ให้ a,b ฮ
Z-{0} , d ฮ Z+ จะเป็น ตัวหารร่วมมาก
( ห.ร.ม.) ของ a, b ก็ต่อเมื่อ
1. d|a และ d|b และ
2. ถ้า c ฮ Z ซึ่ง c|a และ c|b แล้ว c|d
แทน ห.ร.ม. ที่เป็นบวกของ a,b ด้วย gcd(a,b)
บทนิยาม 1.5 ให้ a ,b ฮ
Z-{0} จะกล่าวว่า a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์(relatively prime) ก็ต่อเมื่อ
gcd(a,b) = 1
ทฤษฎีบท 1.6 ให้ a,bฮ
Z-{0} จะได้ว่า
gcd(a,b) = 1 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = 1
ทฤษฎีบท 1.7 ถ้า d = gcd(m,n) และ m = Md,
n = Nd จะได้ 1 = gcd(M,N)
บทนิยาม 1.8 จำนวนเต็ม p น
0 จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p น 1 , p น
-1 และถ้า x ฮ Z ซึ่ง x | p แล้ว x ฮ
{ 1, -1, p, -p }
ทฤษฎีบท 1.9 m,n ฮ
Z และ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า p|mn แล้ว p|m หรือ p|n
ทฤษฎีบท 1.10 ( หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว)
ทุกจำนวนเต็ม n > 1 จะสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะ ดังต่อไปนี้ได้รูปเดียว n =
p1c1p2c2p3c3...pkck
ซึ่ง p1<p2<p3<...<pk
และทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ
บทนิยาม 1.11 ให้ a , b ฮ
Z-{0} , c ฮ Z+ จะเป็น ตัวคูณร่วมน้อย
( ค.ร.น.) ของ a, b ก็ต่อเมื่อ
1. a|c และ b|c และ
2. ถ้า d ฮ Z ซึ่ง a|d และ b|d แล้ว c|d แทน
ค.ร.น. ที่เป็นบวกของ a, b ด้วย lcm[a,b]
ทฤษฎีบท 1.12 ถ้า d = gcd(m,n) และ
c = lcm[m,n] แล้ว dc = mn