แบบฝึกหัด
  1. จงเขียนคู่อันดับทั้งหมดในความสัมพันธ์ R จาก A = {0, 1, 2, 3, 4} ไป B = {0, 1, 2, 3}

    2. เมื่อ (a,b) เป็นสมาชิกของ R ก็ต่อเมื่อ
     a) a = b
    b) a+b = 4
    c) a > b
    d) a | b
    e) gcd (a ,b) = 1
    f) lcm (a,b) = 2
     
  2. a) จงเขียนคู่อันดับทั้งหมดในความสัมพันธ์ R = {(a,b) | a / b } บนเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    3. b) ให้แสดงความสัมพันธ์ R ใน (a)โดยใช้กราฟ
    c) ให้แสดงความสัมพันธ์ R ใน (a) เป็นตาราง
     
  3. จากความสัมพันธ์ บนเซต {1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้ ความสัมพันธ์ใด มีสมบัติสะท้อน สมมาตร

    4. ปฏิสมมาตร และ ถ่ายทอด
    a) {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}
    b) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
    c) {(2,4),(4,2)}
    d) {(1,2),(2,3),(3,4)}
    e) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
    f) {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,4)}
     
  4. จาก ความสัมพันธ์ R บนเซตของคนทั้งหมด ความสัมพันธ์ใด มีสมบัติสะท้อน สมมาตร

    5. ปฏิสมมาตร และ ถ่ายทอด เมื่อกำหนดว่า คู่อันดับ (a,b) ฮ R ก็ต่อเมื่อ
    a) a สูงกว่า b
    b) a และ b เกิดวันเดียวกัน
    c)  a และ b ชื่อเหมือนกัน
    d)  a และ b มีปู่ย่าตายายเหมือนกัน
     
  5. ให้ R เป็นความสัมพันธ์ บนเซตของจำนวนเต็มความสัมพันธ์ใด มีสมบัติสะท้อน สมมาตร

    6. ปฏิสมมาตร และ ถ่ายทอด เมื่อกำหนดว่า คู่อันดับ (x , y) ฮ R ก็ต่อเมื่อ
    a) x น y
    b) xy ณ 1
    c) x = y+1 or x = y  - 1
    d) x บ y(mod 7)
    e) x เป็นผลคูณของ y
    f)  x และ y มีลบทั้งคู่หรือไม่เป็นลบทั้งคู่
    g) x = y2
    h) x ณ y2
     
  6. จงยกตัวอย่างของความสัมพันธ์บนเซตที่

    7. a) มีสมบัติสมมาตร และปฏิสมมาตร
    b) ไม่มีทั้งสมบัติสมมาตรและปฏิสมมาตร

    ความสัมพันธ์ R บนเซต A จะเรียกว่าความสัมพันธ์ไม่สะท้อน (irreflexive)
    ถ้าทุก a ฮ A , (a,a) ฯ R นั่นคือ R เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อน ถ้า ไม่มีสมาชิกใน A ที่มีความสัมพันธ์กับตัวเอง
     

  7. ความสัมพันธ์ใดในข้อที่ 3 ที่เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อน

    8.  
  8. ความสัมพันธ์ใดในข้อที่ 4 ที่เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อน

    9.  
  9. มีความสัมพันธ์บนเซตที่ไม่มีสมบัติสะท้อน และไม่ใช่ ความสัมพันธ์ไม่สะท้อนได้หรือไม่

    10.  

     
     
     
     
     

    ความสัมพันธ์ R จะเรียกว่ามีสมบัติ อสมมาตร (asymmetric ) ถ้า (a,b) ฮ R แล้ว (b,a) ฯ R
     

  10. ความสัมพันธ์ใดในข้อที่ 3 มีสมบัติอสมมาตร

    11.  
  11. ความสัมพันธ์ใดในข้อที่ 4 มีสมบัติอสมมาตร

    12.  
  12. จำเป็นหรือไม่ที่

    13. a) ความสัมพันธ์ที่มีสมบัติอสมมาตรจะต้องมีสมบัติปฎิสมมาตรด้วยและ
    b) ความสัมพันธ์ที่มีสมบัติปฎิสมมาตรต้องมีสมบัติอสมมาตรด้วย
     ให้เหตุผล หรือ ยกตัวอย่างประกอบให้เห็นชัดเจน
     
  13. จงหาจำนวนความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันทั้งหมดจากเซตที่มีสมาซิก m ตัวไปยังเซตที่มีสมาซิก n ตัว

    14.  

     
     
     
     
     

    ให้ R เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B
    ความสัมพันธ์ผกผัน (inverse relation ) จาก B ไป A
    เขียนแทนด้วย R-1 คือ เซตของคู่อันดับ {(b,a) | (a,b) ฮ R}
    และ ความสัมพันธ์เติมเต็ม(complementary relation)
    เขียนแทนด้วย คือ เซตของคู่อันดับ {(a,b) | (a,b) ฯ R}
     

  14. ให้ R เป็นความสัมพันธ์ บนเซตของจำนวนเต็มกำหนดโดย R = {(a,b) | a < b)} จงหา

    15. a) R-1      b) 
     
  15. ให้ R เป็นความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนนับ กำหนดโดย R = {(a,b) | a / b)} จงหา

    16. a) R-1 b) 
     
  16. ให้ R1 = {(1,2),(2,3),(3,4)} และ R2 = {(1,1)(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}

    17.  เป็นความสัมพันธ์จาก {1,2,3,} ไป {1,2,3,4} จงหา
    a) R1 ศ R2
    b) R1 ว R2
    c) R1 - R2
    d) R2 - R1
     
  17. ให้ R เป็นความสัมพันธ์ {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4)(3,1)} และ

    18. S เป็นความสัมพันธ์ {(2,1),(3,1),(3,1),(3,2),(4,2)} จงหา SoR
     
  18. ให้ R, S เป็นความสัมพันธ์บนเซตของคน

    19. กำหนด (a,b) R ก็ต่อเมื่อ a คือ พ่อ หรือ แม่ของ b
    กำหนด (a,b) S ก็ต่อเมื่อ a และ b เป็นพี่น้องกัน (ชายหญิง)
    จงอธิบายความสัมพันธ์ของ SoR และ RoS
     
  19. จงเขียน16 ความสัมพันธ์บนเซต {0,1} มาทั้งหมด

    20.  
  20. จงหาจำนวนความสัมพันธ์ ที่เป็นความสัมพันธ์บนเซต {0,1} ที่มีคู่อันดับ (0,1) เป็นสมาชิก

    21.  
  21. จงหาจำนวนความสัมพันธ์ ที่เป็นความสัมพันธ์บนเซต ที่มีสมาชิก n ตัว และ

    22. a) มีสมบัติสมมาตร
    b) มีสมบัติปฏิสมมาตร
    c) มีสมบัติอสมมาตร
    d) ไม่สะท้อน
    e) สมบัติสะท้อนและสมมาตร
    f) ไม่มีสมบัติสะท้อนและไม่สะท้อน
     
  22. จงหาที่ผิดจากการพิสูจน์ต่อไปนี้

    23. ให้ R เป็นความสัมพันธ์บนเซต A ที่มีสมบัติสมมาตร และ ถ่ายทอด แล้ว
    R จะมีสมบัติสะท้อน
    พิสูจน์ ให้ a ฮ A หา b ฮ A ที่ทำให้ (a,b ) ฮ R แต่จาก R มีสมบัติสมมาตร
          ดังนั้น (b,a) ฮ R และจาก R มีสมบัติถ่ายทอด
    ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่า (a,a) ฮ R
     
  23. ให้ R และ S เป็นความสัมพันธ์ บนเซต A โดยมีสมบัติสะท้อน ให้พิจารณาโจทย์ที่ให้ต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ ถ้าจริงจงพิสูจน์ให้เห็นจริง ถ้าไม่จริงให้ยกตัวอย่างค้าน

    24. a) R ศ S มีสมบัติสะท้อน
    b) R ว S มีสมบัติสะท้อน
    c) R - S ไม่มีสมบัติสะท้อน
    d) R o S มีสมบัติสะท้อน
     
  24. ให้ R เป็นความสัมพันธ์ บนเซต A จงแสดง

    25. ความสัมพันธ์ R มีสมบัติสะท้อน ก็ต่อเมื่อ ความสัมพันธ์ R-1 มีสมบัติสะท้อน
     
  25. ให้ R เป็นความสัมพันธ์ บนเซต A ที่ มีสมบัติสะท้อน และ สมบัติถ่ายทอด

    26. จงพิสูจน์ว่า Rn = R สำหรับทุก n ที่เป็นจำนวนนับ
     
  26. ให้ R เป็นความสัมพันธ์ บนเซต A ที่ มีสมบัติสะท้อน

    27. จงแสดงว่า Rn มีสมบัติสะท้อน สำหรับทุก n ที่เป็นจำนวนนับ
     
  27. ให้ R เป็นความสัมพันธ์ บนเซต A ที่ มีสมบัติไม่สะท้อน

    28. จงพิจารณาว่า R2 มีสมบัติไม่สะท้อน หรือไม่ พร้อมบอกเหตุผลโดยละเอียด