สมบัติของความสัมพันธ์

นิยาม 3 ให้ R เป็นความสัมพันธ์ บนเซต A จะเรียก R ว่า มีสมบัติสะท้อน(reflexive )
ถ้า (a,a) ฮ R สำหรับทุก ๆ สมาชิก a ฮ A

ตัวอย่างที่ 7 พิจารณาความสัมพันธ์บน {1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้

R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)}
R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
R5 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}
R6 = {(3,4)}
ความสัมพันธ์ใดมีสมบัติสะท้อน ?
วิธีทำ
                ความมสัมพันธ์ R3และ R5 มีสมบัติการสะท้อน เพราะทั้งคู่มีคู่ลำดับ
   (a,a) ทุก a ใน {1, 2, 3, 4} คือ (1,1), (1,2), (3,3) และ (4,4)
ส่วนความสัมพันธ์อื่นนั้นไม่มีสมบัติการสะท้อน
ตัวอย่างที่ 8 ความสัมพันธ์ใดจากตัวอย่างที่ 5 มีสมบัติสะท้อน ?

วิธีทำ

ความสัมพันธ์ที่มีสมบัติสะท้อน คือ R1 , R3 และ R4
ความสัมพันธ์อื่นนั้นไม่มีสมบัติการสะท้อน
ตัวอย่างที่ 9 ความสัมพันธ์ภายใต้การหาร บนเซตของจำนวนเต็มบวกมีสมบัติสะท้อน หรือไม่

วิธีทำ

จาก a | a ทุก a ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น ความสัมพันธ์ดังกล่าว มีสมบัติสะท้อน นิยาม 4 ความสัมพันธ์ R บนเซต A เรียกว่า
มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric) ถ้า (a,b) ฮ R แล้ว (b,a) ฮ R
มีสมบัติปฎิสมมาตร (Antisymmetric) ถ้า (a,b) ฮ R และ (b,a) ฮ R แล้ว a = b

ตัวอย่างที่ 10 ความสัมพันธ์ใดในตัวอย่างที่ 7 มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric) และ
ความสัมพันธ์ใดมีสมบัติปฎิสมมาตร (Antisymmetric)?

วิธีทำ ความสัมพันธ์ R2 และ R3 มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric)

ความสัมพันธ์ R4 ,R5 และ R6 มีสมบัติปฎิสมมาตร (Antisymmetric)

ตัวอย่างที่ 11 ความสัมพันธ์ใดในตัวอย่างที่ 5 มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric) และ
ความสัมพันธ์ใดมีสมบัติปฎิสมมาตร (Antisymmetric)?

วิธีทำ

ความสัมพันธ์ R3 ,R4 และ R6 มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric) R3 มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric) เพราะ ถ้า a = b หรือ a = -b แล้ว b= a หรือb = - a
R4 มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric) เพราะ ถ้า a = b แล้ว b = a
R6 มีสมบัติสมมาตร ( Symmetric) เพราะ ถ้า a + b ฃ 3 แล้ว b + a ฃ 3
ผู้อ่านควรตรวจสอบดูว่าความสัมพันธ์อื่นไม่มีสมบัติสมมาตร
ความสัมพันธ์ R1 ,R2 , R4 และ R5 มีสมบัติปฎิสมมาตร (Antisymmetric)
R1 มีสมบัติปฎิสมมาตร เพราะ ถ้า a ฃ b และ b ฃ a แล้ว a = b
R2 มีสมบัติปฎิสมมาตร เป็นไปไม่ได้ที่ a > b และ b > a จะเป็นจริง
R4 มีสมบัติปฎิสมมาตร เพราะ ทั้ง 2 ค่า (a และ b) มีความสัมพันธ์บน R4 แล้ว a = b
R5 มีสมบัติปฎิสมมาตร เพราะจะเป็นไปไม่ได้ที่ a = b + 1 และ b = a +1
ผู้อ่านควรตรวจสอบว่าความสัมพันธ์อันอื่นไม่มี สมบัติปฎิสมมาตร ตัวอย่างที่ 12 ความสัมพันธ์ภายใต้การหาร บนเซตของจำนวนเต็มบวกมีสมบัติสมมาตร และ
ปฎิสมมาตร หรือไม่

วิธีทำ

ความสัมพันธ์นี้ ไม่มีสมบัติสมมาตร เพราะ 1 หาร 2 แต่ 2 ไม่หาร 1
แต่ มีสมบัติปฎิสมมาตร เพราะ สำหรับ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b และ b | a แล้ว a = b


นิยาม 5 ความสัมพันธ์ R บนเซต A จะเรียกว่ามีสมบัติถ่ายทอด
ถ้า (a ,b) ฮ R และ (b ,c) ฮ R แล้ว (a ,c) ฮ R ทุก a, b, c ฮ A

ตัวอย่างที่ 13 ความสัมพันธ์ใดในตัวอย่างที่ 7 มีสมบัตถ่ายทอด

วิธีทำ

R4 ,R5 และ R6 มีสมบัติถ่ายทอด
R1 ไม่มีสมบัติถ่ายทอด เพราะ (3,4) และ (4,1) เป็นสมาชิกของ R1 แต่ (3,1) R1
R2 ไม่มีสมบัติถ่ายทอด เพราะ (2,1) และ (1,2) เป็นสมาชิกของ R2 แต่ (2,2) R2
R3 ก็ไม่มีสมบัติถ่ายทอด เพราะ(4,1) และ (1,2) เป็นสมาชิกของ R3 และ (4,2 R3 ตัวอย่างที่ 14 ความสัมพันธ์ในตัวอย่าง 5 ใด มีสมบัติถ่ายทอด?

วิธีทำ

ความสัมพันธ์ R1 ,R2 ,R3และ R4 มีสมบัติถ่ายทอด
R1 มีสมบัติถ่ายทอด เนื่องจาก a ฃ bและ b ฃ c อนุมานได้ว่า a ฃ c
R2 มีสมบัติถ่ายทอด เนื่องจาก a > b และ b > c อนุมานได้ว่า a > c
R3 มีสมบัติถ่ายทอด เนื่องจาก a = ฑ b และ b = ฑ c อนุมานได้ว่า a = ฑ c
R4 ก็มีสมบัติถ่ายทอด ซึ่งผู้อ่านควรทำการพิสูจน์ดู
ส่วน R5 ไม่มีสมบัติถ่ายทอด เนื่องจาก (2,1) และ (1,0) เป็นสมาชิกของ R5แต่ (2,0) ไม่เป็นสมาชิกของ R5
R6 ไม่มีสมบัติถ่ายทอด เนื่องจาก (2,1) และ (1,2) เป็นสมาชิกของ R6แต่ (2,2) ไม่เป็นสมาชิกของ R6


ตัวอย่างที่ 15 ความสัมพันธ์ภายใต้การหาร บนเซตของจำนวนเต็มบวกมีสมบัติถ่ายทอด หรือไม่ ?

วิธีทำ

สมมติให้ a หาร b และ b หาร c
ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k และ l ซึ่ง
b = ak และ c = bl จึงได้ว่า c = akl
ดังนั้น a หาร c
ผลลัพธ์ที่ได้ คือ ความสัมพันธ์นี้มีสมบัติถ่ายทอด ตัวอย่างที่ 16 จงหาจำนวนความสัมพันธ์ที่มีสมบัติสะท้อน บนเซตที่มีจำนวนสมาชิก n ตัว

วิธีทำ
ถ้า R เป็นความสัมพันธ์ที่มีสมบัติสะท้อนดังนั้น R ต้องมีสมาชิกอย่างน้อย n คู่อันดับ
คือ (a,a) ทุก a ฮ A ดังนั้นยังเหลืออีก n(n-1) คู่อันดับอื่น ๆ ในรูป (a,b) ซึ่ง a น b
อาจจะอยู่หรือไม่อยู่ใน R ก็ได้ ซึ่งจะมี 2n(n-1) เซตย่อยที่ต่างกัน นำมา ผนวกกับ R
ดังนั้น จึงมี 2n(n-1) ความสัมพันธ์ที่มีสมบัติสะท้อน