4. วงรี

บทนิยาม 4.1 ให้  และ  เป็นจุด 2 จุดในระนาบ และให้ k เป็นจำนวนซึ่งมากกว่าระยะทางระหว่าง  และ 
เซตของจุด P ทั้งหมดในระนาบซึ่ง

เรียกว่าวงรี  จุด  และ  เรียกว่าโฟกัสของวงรี

จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง ระหว่างจุดโฟกัสทั้ง 2 เรียกจุดศูนย์กลางของวงรี

ดังรูปที่ 4.1

เรากล่าวว่าวงรีอยู่ในรูปมาตรฐาน ถ้าจุดศูนย์กลางอยู่ ณ จุดกำเนิด และโฟกัสอยู่บนแกน x หรือ แกน y

ถ้าให้โฟกัสคือจุด (-c , 0) และ (c , 0)  เมื่อ c > 0
แล้วระยะทางระหว่างโฟกัส คือ 2c
เพื่อความสะดวกเราให้ k = 2a เมื่อ โดยสมมุติฐาน 2a = k > 2c นั่นคือ a > c
ถ้า (x , y) เป็นจุดบนวงรีแล้วจะได้ว่า

หรือ 

ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้

หรือ 

ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้งหนึ่งจะได้

หรือ (4.1)

เพราะว่า  เพราะฉะนั้น 

    ให้  ตรวจสอบได้ว่า 

แทน  ในสมการ (4.1) จะได้ 

หรือ (4.2)

สมการ (4.2) เป็นสมการของวงรีซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด
    โฟกัสที่จุด F/(-c , 0) และ F(c , 0)
    ตัดแกน x ที่จุด (a , 0) และ (-a, 0)
    ตัดแกน y ที่จุด (0, b) และ(0, -b)
    เรียกจุด (-a , 0) และ (a , 0) ว่าจุดยอดของวงรี
และ
    ส่วนของเส้นตรงที่อยู่ระหว่างจุดยอด (-a , 0) และ (a , 0) เรียกว่าแกนเอก (major - axis) ของวงรี
และ
    ส่วนของเส้นตรงระหว่าง (0 , -b ) และ (0 ,b) เรียกว่า แกนโท (minor axis) ของวงรี

กราฟของสมการใน 4.2 แสดงได้ดังรูปที่ 4.2


รูปที่ 4.2

            F (c, 0) และ F(-c, 0) เป็นโฟกัส
    A(a, 0) และ A(-a, 0) เป็นจุดยอด
  เป็นแกนเอก
เป็นแกนโท


    ในทำนองเดียวกันถ้าโฟกัสของวงรีอยู่บนแกน y คือ จุด (0 , c) และ(0, -c) เมื่อ c > 0 แล้วสมการวงรี

อยู่ในรูปมาตรฐานเป็น

(4.3)

กราฟของสมการใน (4.3) แสดงได้ดังรูปที่ 4.3


รูปที่ 4.3
และ เป็นโฟกัส
และ  เป็นจุดยอด
เป็นแกนเอก
เป็นแกนโท
สรุป เราได้สมการของวงรีในรูปมาตรฐาน 2 แบบคือ

และ 2 a = ความยาวของแกนเอก ,

    2b = ความยาวของแกนโท ,
    2c = ระยะระหว่างโฟกัส


ตัวอย่าง 4.1 จงเขียนกราฟของวรี ที่มีความยาวของแกนเอกเป็น 12 หน่วย และมีโฟกัสอยู่ที่จุด

(-4, 0) ,(4, 0) วิธีทำ เนื่องจากวงรีมีจุดโฟกัสอยู่บนแกน x และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด สมการวงรีจะอยู่ในรูป

ความยาวของแกนเอกเท่ากับ 2 a ดังนั้น

หรือ 

โฟกัสอยู่ที่จุด (-4, 0) และ (4, 0) จะได้ 

เนื่องจาก จะได้

สมการวงรีคือ

ดังรูปที่ 4.4

ตัวอย่าง 4.2 จงเขียนกราฟของสมการ 

วิธีทำ เขียนสมการที่กำหนดให้ ในรูป

(4.4)

ดังนั้นกราฟวงรีนี้มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด แกนเอกอยู่บนแกน y จะได้ว่า

และ 

ดังนั้น 

ในการเขียนกราฟจะกำหนดจุด 4 จุด คือ

(-2, 0) , (2, 0) , (0, -4) และ (0, 4)

โดยมีจุดโฟกัสคือจุด  และ 

แสดงได้ดังรูปที่ 4.5

ถ้าจุดศูนย์กลางของวงรีอยู่ที่  และแกนเอกขนานกับแกน x หรือขนานกับแกน y

การหาสมการของวงรีในกรณีนี้ทำได้โดยเลื่อนแกนพิกัด x และ y ให้จุดกำเนิด  ไปอยู่ที่จุด

จะได้สมการของวงรีในรูปมาตรฐานเทียบกับแกน  และ  คือ

หรือ (5.1)

เมื่อ  และ  แทนค่าในสมการ (5.1) จะได้

(5.2)

หรือ (5.3)

ตามลำดับ

โดยการกระจายสมการ (5.2) และสมการ (5.3) และจัดรูปใหม่ได้สมการวงรีแบบทั่วไปคือ

, เมื่อ  (5.4)

ตัวอย่าง 4.3 กำหนดสมการ  จงหาจุดโฟกัส จุดยอด พร้อมทั้ง

เขียนกราฟ

วิธีทำ จากสมการที่กำหนดให้ โดยวิธีกำลังสองสัมบูรณ์ของ x และ y

จะได้ 

หรือ 

ให้  และ  จะได้

ดังนั้นย้ายจุดกำเนิดไปที่ (2, 4) และแกน  ขนานกับแกนเดิมสมการที่กำหนดให้เป็นสมการวงรี

จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 4) เทียบกับแกนเดิม

เนื่องจาก a = 8 ดังนั้นจุดยอดคือ

และ 

กราฟของวงรีแสดงได้ดังรูป