บทนิยาม 5.1 ให้  และ  เป็นจุด 2 จุด ที่ต่างกันในระนาบ และให้ k เป็นจำนวนบวกซึ่ง

น้อยกว่าระยะทางระหว่าง  และ 

เซตของจุด P ทั้งหมดในระนาบที่

เรียกว่าไฮเพอร์โบลา จุด และเรียกว่าโฟกัสของไฮเพอร์โบลา

จุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสทั้ง 2 เรียกว่าจุด ศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา ดังรูป 5.1

เรากล่าวว่าไฮเพอร์โบลา อยู่ในรูปมาตรฐาน ถ้าจุดศูนย์กลางอยู่ ณ จุดกำเนิด และ โฟกัสอยู่บนแกน x หรือ แกน y

                ถ้าให้โฟกัสคือจุด (-c , 0) และ (c , 0) เมื่อ c > 0 (ดังรูปที่ 5.1) แล้วระยะทางระหว่างโฟกัส คือ 2c เพื่อความสะดวก ให้ k = 2a เมื่อ a > 0 โดยสมมติฐาน 2a = k < 2c นั่นคือ a < c

ถ้า (x , y) เป็นจุดบนไฮเพอร์โบลาแล้วจะได้ว่า

ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้

ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้งหนึ่ง จะได้

เพราะว่า  เพราะฉะนั้น 

ให้ 

แทน  ในสมการ (6.1) จะได้ 

สมการ (5.2) เป็นสมการไฮเพอร์โบลา ซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด โฟกัสที่จุด  และ  ตัดแกน x ที่จุด (a , 0) และ (-a , 0) เรียกว่าจุดยอดของไฮเพอร์โบลา และส่วนของเส้นตรงที่อยู่ระหว่าง

จุดยอด (-a , 0) และ (a , 0) เรียกว่า แกนตามขวางของไฮเพอร์โบลา ส่วนของเส้นตรงระหว่างจุด (0, -b)

และ (0 , b) เรียกว่า แกนสังยุคของไฮเพอร์โบลา กราฟของสมการใน (5.2) แสดงได้ดังรูปที่ (5.2)

ในทำนองเดียวกัน ถ้าโฟกัสของไฮเพอร์โบลาอยู่บนแกน y คือ
จุด (0 , c) และ (0 , -c) เมื่อ c > 0

แล้วสมการไฮเพอร์โบลา อยู่ในรูปมาตรฐานเป็น

กราฟของสมการใน (5.3) แสดงได้ดังรูปที่ (5.3)

จากสมการ (5.2) เมื่อ y > 0 เราพบว่า

(5.4)

แสดงว่าไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้เส้นตรง  ขณะ x เข้าใกล้  เพราะว่าไฮเพอร์โบลา

สมมาตรเทียบกับแกน x ดังนั้นไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้เส้น  เช่นกัน เราเรียกเส้นตรง

ว่าเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา

ในทำนองเดียวกัน ถ้าไฮเพอร์โบลาสมการเป็นสมการใน (5.3) จะได้ว่า

เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา คือ  และ  ดังรูปที่ 5.4

สรุป เราได้สมการของไฮเพอร์โบลาในรูปมาตรฐาน 2 แบบ

ตัวอย่าง 5.1 กำหนดจุด (0, 3) และ (0, -3) เป็นจุดยอดของไฮเพอร์โบลา และโฟกัสที่จุด (0, 5) และ

(0, -5) จงหาสมการของไฮเพอร์โบลา

วิธีทำ เนื่องจากโฟกัสอยู่บนแกน y ดังนั้นแกนตามขวางจะทับกับแกน y จุดศูนย์กลางคือ (0, 0)

สมการไฮเพอร์โบลามีรูปมาตรฐานคือ

    ระยะระหว่างจุดยอด = 

    ระยะระหว่างโฟกัส = 

    ดังนั้น และ 

    เนื่องจาก จะได้   

    ดังนั้น 

ตัวอย่าง 5.2 จงเขียนกราฟของสมการ  พร้อมทั้งหาจุดโฟกัส และ ความ

ยาวแกนตามขวาง สมการเส้นกำกับ

วิธีทำ เขียนสมการที่กำหนดให้อยู่ในรูป 

ดังนั้น และ 

กราฟของสมการไฮเพอร์โบลาเป็นกราฟที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด และมีแกนตามขวางทับกับแกน x

    จุดยอดคือ (3, 0) , (-3, 0)

เนื่องจาก ดังนั้น จะได้

ดังนั้น โฟกัสอยู่ที่จุด และ 

สมการเส้นกำกับคือ และ 

ความยาวแกนตามขวาง  แสดงได้ดังรูปที่ 5.5

    ถ้าไฮเพอร์โบลาไม่ได้อยู่ในรูปมาตรฐาน สมมุติจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h , k) และแกนตามขวางขนานแกน x (หรือแกน y) โดยการย้ายแกน จะได้สมการ

กระจาย (6.5) หรือ (6.6) และเขียนใหม่ได้สมการรูปทั่วไป คือ

ตัวอย่างที่ 6.3 กำหนดให้สมการ  จงหาจุดยอด และสมการเส้น

กำกับเทียบกับแกนเดิม

วิธีทำ โดยวิธีกำลังสองสัมบูรณ์ของ x และ y จะได้

ให้ และ 

ดังนั้นสมการจะเขียนได้เป็น

ดังนั้นเลื่อนจุดกำเนิดไปที่จุด (3, 1) และแกนขนานกับแกนเดิม สมการไฮเพอร์โบลาที่กำหนดให้

มีจุดศูนย์กลางที่ (3, 1) เทียบกับแกนเดิม เนื่องจาก a = 3 ดังนั้นจุดยอดคือ (3, 4) และ (3, -2)

สมการเส้นกำกับเทียบกับแกน  คือ  และ 

ดังนั้นสมการเส้นกำกับเทียบกับแกนเดิมคือ

หรือ 

แสดงได้ดังรูปที่ 5.6