การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
บทนิยาม
จะกล่าวว่าอนุกรม $ \sum a_n $ ลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าอนุกรม $ \sum | a_n | $ ลู่เข้า
ตัวอย่าง
จงแสดงว่าอนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} $ ลู่เข้าสัมบูรณ์
วิธีทำ
เพราะว่า $ \sum_{n=1}^\infty \big | \frac{(-1)^n}{n^2} \big | = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ ซึ่งเป็นอนุกรม $ p = 2 >1$ จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า
ดังนั้น อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} $ ลู่เข้าสัมบูรณ์
ตัวอย่าง
จงแสดงว่าอนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} $ ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์
วิธีทำ
เพราะว่า $ \sum_{n=1}^\infty \big | \frac{(-1)^n}{n} \big | = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ ซึ่งเป็นอนุกรมฮาร์มอนิก จึงเป็นอนุกรมลู่ออก
ดังนั้น อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} $ ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์
ทฤษฎีบท
ให้ $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมใดๆ
ถ้าอนุกรม $ \sum | a_n | $ ลู่เข้า แล้ว อนุกรม$ \sum a_n $ ลู่เข้า
พิสูจน์
นั่นคือ
ถ้าอนุกรม $ \sum a_n $ ลู่เข้าสัมบูรณ์ แล้ว อนุกรม $ \sum a_n $ ลู่เข้า
จาก ตัวอย่าง และ ทฤษฎีบท จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} $ ลู่เข้า
คำถามคือสำหรับ อนุกรม $ \sum a_n $ ใดๆ ถ้า อนุกรม $ \sum | a_n | $ ลู่ออก แล้ว
อนุกรม $ \sum a_n $ จะเป็นอนุกรมลู่ออกด้วยไหม ? ซึ่ง
คำตอบคือไม่จำเป็น เช่น
อนุกรม $ \sum_{n=1} ^ \infty (-1)^n \frac{1}{n} $ ซึ่งจะเห็นได้ว่า
อนุกรม $ \sum_{n=1} ^ \infty \big | (-1)^n \frac{1}{n} \big | = \sum_{n=1} ^ \infty \frac{1}{n} $ ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก แต่
อนุกรม $ \sum_{n=1} ^ \infty (-1)^n \frac{1}{n} $ ลู่เข้า
ซึ่งจะเรียกการลู่เข้าในกรณีนี้ว่า การลู่เข้ามีเงื่อนไข ดังนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม
จะกล่าวว่า $ \sum a_n $ ลู่เข้ามีเงื่อนไข
ถ้า อนุกรม $ \sum | a_n | $ ลู่ออก แต่ อนุกรม $ \sum a_n $ ลู่เข้า
ทฤษฎีบท การทดสอบด้วยอัตราส่วน
ให้อนุกรม $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมใด ๆ ซึ่ง $ a_n \neq 0 $ ทุกจำนวนนับ $ n $
พิจารณา $ \lim_{ n \to \infty } | \frac{a_{n+1}} {a_n} | = L $ จะได้ว่า
1. ถ้า $ L < 1 $ แล้ว อนุกรม $ \sum a_n $ ลู่เข้าสัมบูรณ์
2. ถ้า $ L > 1 $ หรือ $ \infty $ แล้ว อนุกรม $ \sum a_n $ ลู่ออก
3. ถ้า $ L = 1 $ แล้ว ยังไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้า ลู่ออกของ อนุกรม $ \sum a_n $
ทฤษฎีบท การทดสอบโดยราก
ให้อนุกรม $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมใด ๆ
พิจารณา $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \arrowvert a_n \arrowvert } $ จะได้ว่า
1. ถ้า $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\arrowvert a_n \arrowvert } = L < 1 $ แล้ว อนุกรม $ \sum a_n $ ลู่เข้าสัมบูรณ์
2. ถ้า $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\arrowvert a_n \arrowvert } =L > 1 $ หรือ $ \infty $ แล้ว อนุกรม $ \sum a_n $ ลู่ออก
3. ถ้า $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\arrowvert a_n \arrowvert } = 1$ แล้ว ยังไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้า ลู่ออกของ อนุกรม $ \sum a_n $
แบบฝึกหัดระคน
จงตรวจสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
$$ \begin{array}{llll} 1. \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n+3^n} &2. \sum_{n=1}^ \infty \frac{(2n+1)^n}{n^{2n}} &
3. \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{n}{n^2+2} & 4. \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} \\
5. \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)} & 6. \sum_{n=1}^ \infty \frac{n!}{e^n} &
7. \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n+n \cos ^2 n} & 8. \sum_{n=1}^ \infty ( \frac{n}{n+1} )^{n^2} \\
9. \sum_{n=1}^ \infty \frac{\sin 2n }{1+2^n} & 10. \sum_{n=1}^ \infty \frac{n^2+1}{5^n} &
11. \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{1}{n \ln n} & 12. \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{\ln n}{\sqrt{n}}
\end{array} $$
วิธีทำ 8