อนุกรมสลับ

บทนิยาม

อนุกรมสลับ $\sum a_n $ คือ อนุกรมซึ่งมีพจน์บวกและลบสลับกัน พจน์ต่อพจน์
นั่นคือ เป็นอนุกรมที่อยู่ในรูป
$\sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n+1} b_n = b_1 b_2 + b_3 b_4 + \dots $
นั่นคือ $ a_n = (-1)^{n+1} b_n $ โดยที่ $ b_n > 0 $ ทุกจำนวนนับ $ n $
หรือ $\sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n} b_n = - b_1 + b_2 - b_3 + b_4 + \dots $
นั่นคือ $ a_n = (-1)^{n} b_n $ โดยที่ $ b_n > 0 $ ทุกจำนวนนับ $ n $

ตัวอย่าง

อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n} n $ และ อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{1}{n} $ เป็นอนุกรมสลับ

ทฤษฎีบท (การทดสอบอนุกรมสลับ)

อนุกรมสลับที่อยู่ในรูป $\sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n+1} b_n $ หรือ $\sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n} b_n $ โดยที่ $ b_n > 0 $ ทุกจำนวนนับ $ n $
ถ้าลำดับ $\{ b_n \}$ สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้คือ
1. $ \lim_{n \to \infty } b_n = 0 $ และ
2. มีจำนวนนับ $k \geq 1 $ ที่ทำให้ $ b_n > b_{n+1} $ ทุกจำนวนนับ $ n \geq k $ นั่นคือ ลำดับ $ \{ b_n \} $ เป็นลำดับลด เมื่อ $ n \geq k $
แล้วจะได้ว่า อนุกรมสลับ $\sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n+1} b_n $ หรือ $\sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n} b_n $ จะเป็นอนุกรมลู่เข้า

ตัวอย่าง

จงทดสอบอนุกรมต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรม ลู่เข้า หรือ ลู่ออก

$ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{1}{n} $
$ \sum_{n=3}^ \infty (-1)^n \frac{\ln n }{n} $
$ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{ (n+1) }{2n+3} $

วิธีทำ
1. ในที่นี้ $b_n = \frac{1}{n} $ และ $b_{n+1} = \frac{1}{n+1} $
จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty } b_n = 0 $ และ
$ b_n = \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} = b_{n+1} $ ทุกจำนวนนับ $ n $
โดยการทดสอบอนุกรมสลับ จึงได้ได้ว่า $ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{1}{n} $ เป็นอนุกรมลู่เข้า
2. ในที่นี้ $ b_n = \frac{\ln n }{n} $
ให้ $ f(x) = \frac{\ln x }{x} $
จะได้ว่า $ \lim_{x \to \infty } f(x) =\lim_{x \to \infty } \frac{\ln x }{x} = \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 }{x} = 0 $
และ $ f ' (x) = \frac{1 - \ln x }{x^2} < 0 $ ทุกค่า $ x \geq 3 $
ดังนั้น $ f(x) $ เป็นฟังก์ชันลด บนช่วง $ [ 3 , \infty ) $
ดังนั้น $ b_n $ จึงสอดคล้อง $ \lim_{n \to \infty } b_n = 0 $ และ $ b_n > b_{n+1} $ ทุกจำนวนนับ $ n \geq 3 $
โดยการทดสอบอนุกรมสลับ จึงได้ได้ว่า $ \sum_{n=3}^ \infty (-1)^n \frac{\ln n }{n} $ เป็นอนุกรมลู่เข้า
3. ในที่นี้ $ b_n = \frac{ n+1 }{2n+3} $ จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty } b_n = \lim_{n \to \infty } \frac{ n+1 }{2n+3} = \frac{1}{2} \neq 0 $
ดังนั้น $ \lim_{n \to \infty } (-1)^n \frac{ (n+1) }{2n+3} \neq 0 $
โดยการทดสอบการลู่ออก จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^n \frac{ (n+1) }{2n+3} $ เป็นอนุกรมลู่ออก