อนุกรมกำลัง
บทนิยาม
อนุกรมกำลังใน $ x $ หมายถึง อนุกรมที่อยู่ในรูป
$ \sum_{n=0}^ \infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + \dots $
โดยที่ $ a_n \in \mathbf{R} $ เมื่อ $ n = 0,1,2, \dots $ n = 0, 1, 2, . . . และ
เรียก $ a_n $ ว่า สัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลัง
อนุกรมกำลังใน $ x-a $ หมายถึง อนุกรมที่อยู่ในรูป
$ \sum_{n=0}^ \infty a_n (x-a) ^n = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a) ^2 + \dots + a_n (x-a) ^n + \dots $
โดยที่ $ a, a_n \in \mathbf{R} $ เมื่อ $ n = 0,1,2, \dots $ และเรียก $ a $ ว่า ศูนย์กลางของอนุกรมกำลัง $ x-a $
ตัวอย่าง
อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty x^n = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + \dots $
สังเกตว่า
ถ้า $ x=0 $ จะได้ $ \sum_{n=0}^ \infty x^n = 1 $ ซึ่งเป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
ถ้า $ x= \frac{1}{2} $ จะได้ $ \sum_{n=0}^ \infty x^n = 1 +\frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3} + \dots $ ซึ่งเป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
ถ้า $ x= 2 $ จะได้ $ \sum_{n=0}^ \infty x^n = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n + \dots $ ซึ่งเป็นอนุกรมที่ลู่ออก
จะเห็นได้ว่า ค่า $ x $ ที่เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้ อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty x^n $ ลู่เข้า คือ $ x \in (-1, 1 ) $
เราจะเรียก เซตของค่า $ x $ ที่ทำให้อนุกรมกำลัง ลู่เข้าว่า ช่วงของการลู่เข้า (Interval of convergence)
และเรียกระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางไปยังจุดปลายของช่วงการลู่เข้าว่า รัศมีการลู่เข้า (Radius of convergence) เขียนแทนด้วย $ R $
เช่น อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty x^n $ มีช่วงของการลู่เข้าของ คือ (-1 , 1)
และ รัศมีของการลู่เข้า คือ $ 1 $
ทฤษฎีบท
อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty a_n (x-a) ^n $ จะมีรัศมีของการลู่เข้า $ R $ เป็นข้อใดข้อหนึ่งใน 3 กรณีดังต่อไปนี้
1. $ R=0 $ ในกรณีนี้ได้ช่วงของการลู่เข้าคือ $ \{ a \} $
2. $ R= \infty $ ในกรณีนี้ ได้ ช่วงของการลู่เข้าคือ $ ( - \infty , \infty ) $ หรือก็คือเซตของจำนวนจริง
3. $ R $ เป็นจำนวนจริงบวก ในกรณีนี้ ได้ ช่วงของการลู่เข้าเป็นไปได้ 4 แบบ คือ
$ (a-R , a+R ) , (a-R,a+R] , [a-R,a+R) $ หรือ $ [a-R,a+R] $
ตัวอย่าง
จงหารัศมี และ ช่วงของการลู่เข้า ของอนุกรมกำลังต่อไปนี้
- $ \sum_{n=0}^ \infty n! x^n $
- $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{(x-2)^n}{3n } $
- $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{x^n}{ n ! } $
วิธีทำ
1. โดยใช้ Ratio Test ให้ $ a_n = n! x^n $
ถ้า $ x \neq 0 $จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty} \big | \frac{a_{n+1}}{a_n} \big | = \lim_{n \to \infty} \big | \frac{(n+1) ! x^{n+1} }{n ! x^n } \big | = \lim_{n \to \infty} (n+1) |x| = \infty $
ดังนั้น โดย Ratio Test จะได้ว่า อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty a_n = n! x^n $ ลู่ออกทุกค่า $ x \neq 0 $
นั่นคือ รัศมีการลู่เข้า คือ $ 0 $ และช่วงการลู่เข้าคือ $ \{ 0 \} $
2. โดยใช้ Ratio Test ให้ $ a_n = \frac{(x-2)^n}{3n } $
จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty} \big | \frac{a_{n+1}}{a_n} \big | = \lim_{n \to \infty} \big | \frac{(x-2)^{n+1}}{3(n+1) } \centerdot \frac{3n } {(x-2)^n} \big | = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} | x - 2 | = | x - 2 | $
โดย Ratio Test จะได้ว่า อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{(x-2)^n}{3n } $
ลู่เข้า เมื่อ $ | x - 2 | < 1 $ นั่นคือ $ 1 < x < 3 $
ลู่ออก เมื่อ $ | x - 2 | > 1 $ นั่นคือ $ x < 1 $ หรือ $ x > 3$
กรณีที่ $ x= 1, 3 $ จะต้องทดสอบต่อไป
กรณี $ x= 1 $
แทนค่า $ x=1 $ ในอนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{(x-2)^n}{3n } $ ได้ อนุกรม $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^n}{3n } $ ซึ่งเป็นอนุกรมสลับ
ให้ $ b_n = \frac{1}{3n}$ จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n} = 0 $
และ $ b_n = \frac{1}{3n} > \frac{1}{3n+3} = \frac{1}{3(n+1)} = b_{n+1} $
โดยการทดสอบอนุกรมสลับได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^n}{3n } $ ลู่เข้า
กรณี $ x= 3 $
แทนค่า $ x=3 $ ในอนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{(x-2)^n}{3n } $ ได้ อนุกรม $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{3n } = \frac{1}{3 } \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{n } $
จาก อนุกรม $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{n } $ เป็นอนุกรม ฮาร์มอนิก ซึ่ง เป็นอนุกรมลู่ออก
ดังนั้น อนุกรม $ \frac{1}{3 } \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{n } $ เป็นอนุกรมลู่ออก
สรุป
อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{(x-2)^n}{3n } $ มีรัศมีการลู่เข้าคือ $1$ และ
ช่วงของการลู่เข้าคือ $ [ 1,3 ) $
3. โดยใช้ Ratio Test ให้ $a_n = \frac{x^n}{ n ! } $
จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty} \big | \frac{a_{n+1}}{a_n} \big | = \lim_{n \to \infty} \big | \frac{x^{n+1}}{ (n+1) ! } \centerdot \frac{n ! } {x^n} \big | = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} | x | = 0 $
ดังนั้น โดย Ratio Test จะได้ว่า อนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^ \infty \frac{x^n}{ n ! } $ ลู่เข้า ทุกค่า $x$
นั่นคือ รัศมีการลู่เข้า คือ $ \infty $ และช่วงการลู่เข้าคือ $ ( - \infty , \infty ) $ หรือ เซตของจำนวนจริง
อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมแมคคลอริน
บทนิยาม
ถ้า $ f(x) $ มีอนุพันธ์ทุกอันดับที่ $ x = a $ แล้ว อนุกรมเทย์เลอร์ สำหรับ $ f(x) $ รอบ $ x = a $ คือ
$ f(x) = \sum_{n=0}^ \infty \frac{f^{(n)}(a) } { n ! } (x - a)^n = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2 !} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3 !} (x-a)^3 + \dots $
ถ้า a = 0 แล้วอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับ $ f(x) $ อยู่ในรูป
$ f(x) = \sum_{n=0}^ \infty \frac{f^{(n)}(0) } { n ! } x^n = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2 !} x^2 + \frac{f'''(0)}{3 !} x^3 + \dots $
เรียกว่า อนุกรมแมคคลอริน สำหรับ $ f(x) $
อนุกรมแมคคลอรินที่สำคัญ
$ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^ \infty x^n = 1+x+x^2+x^3 + \dots \\
e^x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{x^n}{ n! } = 1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+ \dots \\
\sin x = \sum_{n=0}^ \infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{ (2n+1) ! } = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \\
\cos x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{x^{2n}}{(2n) ! } = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \\ $
เราสามารถใช้โปรแกรม Sage ในการหาพหุนามเทย์เลอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอนุกรมเทเลอร์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหา5 พจน์แรก ของอนุกรมเทเลอร์ ของฟังก์ชัน $\sin x$ รอบจุด $ a = \frac{\pi}{6} $
โปรแกรมSageMath