ลำดับ

บทนิยาม

ลำดับ คือ ฟังก์ชัน ที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนนับ $ N $ หรือ เซตของจำนวนนับ n ตัว
ในกรณีที่เรนจ์ เป็นเซตย่อยของจำนวนจริง เรียกว่า ลำดับของจำนวนจริง
ในกรณีที่เรนจ์ เป็นเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน
ในที่นี้จะศึกษาลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนนับและเรนจ์เป็นเซตย่อยของจำนวนจริง
โดยทั่วไปลำดับสามารถเขียนแทนด้วยเรนจ์ของลำดับดังนี้
$a_1,a_2,a_3,...,a_n,...$ หรือ $\{ a_1,a_2,a_3,...,a_n,.. \} $ หรือ $ \{ a_n \} $

ในเรื่องลำดับเรามักสนใจศึกษาพฤติกรรมของลำดับในขณะที่ โดเมน ของลำดับ มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แล้วเราอยากรู้ว่าเรนจ์ของลำดับซึ่งคือค่า
$ a_n $ จะมีพฤติกรรมแบบใด ซึ่งเราเรียกว่าการศึกษาลิมิตของลำดับดังบทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม :

จะกล่าวว่าลำดับ $ \{ a_n \} $ มีลิมิต คือจำนวนจริง$L$ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกๆจำนวนจริง$ \epsilon $ เราสามารถหาจำนวนนับ $N$ (อาจขึ้นอยู่กับ $ \epsilon $ ) ซึ่งทำให้
$ | a_n - L | < \epsilon $ ทุก $n >N$
เขียนแทนด้วย $ \lim _{n \to \infty } a_n =L $ หรือ $a_n \to L $ เมื่อ $n \to \infty $
ในกรณีนี้จะกล่าวว่าลำดับ $ \{ a_n \} $ เป็นลำดับลู่เข้า และลู่เข้าค่า $ L $
ถ้า ลำดับ $ \{ a_n \} $ ไม่ใช่ลำดับลู่เข้า จะกล่าวว่า ลำดับ $ \{ a_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก

บทนิยาม :

จะกล่าวว่าลำดับของ $ \{ a_n \} $ ลิมิตเข้าใกล้อนันต์ ( $\infty $ ) ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆจำนวนจริง $ M >0 $ เราสามารถหาจำนวนนับ $N $ (อาจขึ้นอยู่กับ $ M $ ) ซึ่งทำให้
$ a_n > M $ ทุก $ n>N $
เขียนแทนด้วย $ \lim _{n \to \infty } a_n = \infty $ หรือ $a_n \to \infty $ เมื่อ $n \to \infty $
จะกล่าวว่าลำดับของ $ \{ a_n \} $ ลิมิตเข้าใกล้ลบอนันต์($ - \infty $ )ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆจำนวนจริง $ M >0 $ เราสามารถหาจำนวนนับ $N $ (อาจขึ้นอยู่กับ $ M $ ) ซึ่งทำให้
$ a_n < - M $ ทุก $ n>N $
เขียนแทนด้วย $ \lim _{n \to \infty } a_n = - \infty $ หรือ $a_n \to - \infty $ เมื่อ $n \to \infty $
กรณี ลำดับ $ \{ a_n \} $ ที่ $ \lim _{n \to \infty } a_n = \infty $ หรือ $ \lim _{n \to \infty } a_n = - \infty $ จะเป็น ลำดับลู่ออก

ทฤษฎีบท :

ถ้าลำดับ $ \{ a_n \} $ และ ลำดับ $ \{ b_n \} $ เป็นลำดับลู่เข้า และ $ c $ คือค่าคงที่ แล้ว
  1. $ \lim _{n \to \infty } c = c $
  2. $ \lim _{n \to \infty } ( a_n+b_n ) =\lim _{n \to \infty } a_n + \lim _{n \to \infty } b_n $
  3. $ \lim _{n \to \infty } ( a_n - b_n ) =\lim _{n \to \infty } a_n - \lim _{n \to \infty } b_n $
  4. $ \lim _{n \to \infty } ( c a_n ) = c \lim _{n \to \infty } a_n $
  5. $ \lim _{n \to \infty } ( a_n b_n ) =\lim _{n \to \infty } a_n \lim _{n \to \infty } b_n $
  6. $ \lim _{n \to \infty } (\frac{ a_n}{b_n} ) = \frac{\lim _{n \to \infty } a_n } { \lim _{n \to \infty } b_n} $ ถ้า $ \lim _{n \to \infty } b_n \neq 0 $
  7. $ \lim _{n \to \infty } ( a_n ^p ) = (\lim _{n \to \infty } a_n)^p $ เมื่อ $p >0 $ และ $ a_n > 0 $

ทฤษฎีบท :

ถ้า ลำดับ $ \{ a_n \} $ เป็นลำดับลู่เข้า ที่มีลิมิตเป็นจำนวนจริง $L $ และ
ลำดับ $ \{ b_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก ลิมิตเข้าใกล้อนันต์ $ \infty $ แล้ว
  1. ลำดับ $ \{ b_n+ a_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก ลิมิตเข้าใกล้อนันต์ $ \infty $
  2. ลำดับ $ \{ b_n- a_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก ลิมิตเข้าใกล้อนันต์ $ \infty $
  3. ลำดับ $ \{ b_n \cdot a_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก
    3.1 ลิมิตเข้าใกล้ $ \infty $ เมื่อ $ L > 0$
    3.2 ลิมิตเข้าใกล้ $ - \infty $ เมื่อ $ L < 0$
เขียนในรูปลิมิตได้ดังนี้
ถ้า $ \lim _{n \to \infty } a_n = L $ และ $ \lim _{n \to \infty } b_n = \infty $ แล้ว
1. $ \lim _{n \to \infty } (b_n \pm a_n ) = \infty $
2. $ \lim _{n \to \infty } (b_n \cdot a_n ) = \left\{ \begin{array} {ll} \infty & L >0 \\ -\infty & L < 0 \end{array} \right. $

ทฤษฎีบท :

ถ้า ลำดับ $ \{ a_n \} $ เป็นลำดับลู่เข้า ที่มีลิมิตเป็นจำนวนจริง $L $ และ
ลำดับ $ \{ b_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก ลิมิตเข้าใกล้ลบอนันต์ $ - \infty $ แล้ว
  1. ลำดับ $ \{ b_n+ a_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก ลิมิตเข้าใกล้ลบอนันต์ $ - \infty $
  2. ลำดับ $ \{ b_n- a_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก ลิมิตเข้าใกล้ลบอนันต์ $ - \infty $
  3. ลำดับ $ \{ b_n \cdot a_n \} $ เป็นลำดับลู่ออก
    3.1 ลิมิตเข้าใกล้ลบอนันต์ $ - \infty $ เมื่อ $ L > 0$
    3.2 ลิมิตเข้าใกล้อนันต์ $ \infty $ เมื่อ $ L < 0$
เขียนในรูปลิมิตได้ดังนี้
ถ้า $ \lim _{n \to \infty } a_n = L $ และ $ \lim _{n \to \infty } b_n = - \infty $ แล้ว
1. $ \lim _{n \to \infty } (b_n \pm a_n ) = - \infty $
2. $ \lim _{n \to \infty } (b_n \cdot a_n ) = \left\{ \begin{array} {ll} - \infty & L >0 \\ \infty & L < 0 \end{array} \right. $
ในการหาลิมิตของลำดับ เราอาจใช้เทคนิคและทฤษฎีบทในการหาลิมิตของฟังก์ชันบนจำนวนจริงเข้ามาช่วยได้ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท :

กำหนดให้ $ f $ เป็นฟังก์ชันบนจำนวนจริง ถ้า $ \lim _{x \to \infty } f(x)= L $ และ $ f(n)= a_n $ ทุกค่า $ n $ ที่เป็นจำนวนนับ แล้ว $ \lim _{n \to \infty } a_n =L $
ทฤษฎีบทข้างต้นยังคงเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจาก $ L $ เป็น $ \infty $ หรือ $ - \infty $
จากในวิชาแคลคูลัสเบื้องต้นเรารู้ว่า $ \lim _{x \to \infty } \frac{1}{x^r} = 0 $ เมื่อ $ r>0 $
ดังนั้น $ \lim _{n \to \infty } \frac{1}{n^r} = 0 $ เมื่อ $ r>0 $ ( ในที่นี้พิจารณา $ f(x)= \frac{1}{x^r} $ )

ตัวอย่าง

จงหาค่า $ 1. \lim_{n \to \infty } \frac{ln n }{ n } \\ 2. \lim_{n \to \infty } (1+\frac{2}{n } )^n $
วิธีทำ 1. พิจารณา $ f(x) = \frac{ln x}{x} $
จะได้ว่า $ \lim_{x \to \infty } \frac{ln x }{ x } $ อยู่ในรูปแบบ $ \frac{\infty}{\infty} $
ดังนั้น โดยกฎโลปิตาล $ \lim_{x \to \infty } \frac{ln x }{ x } = \lim_{x \to \infty } \frac{1/x }{ 1 } = 0 $
จึงได้ว่า $ \lim_{n \to \infty } \frac{ln n }{ n } = 0 $
2. พิจารณา $ f(x)= (1+\frac{2}{x } )^x $
จะได้ว่า $ \ln{f(x)} = x \ln{ (1+\frac{2}{x} )}$
ดังนั้น $ \lim_{x \to \infty } \ln{f(x)} = \lim_{x \to \infty } x \ln{ (1+\frac{2}{x} )} = \lim_{x \to \infty } \frac{\ln{ (1+\frac{2}{x} )}}{1/x} $
ดังนั้น โดยกฎโลปิตาล $ \lim_{x \to \infty } \frac{\ln{ (1+\frac{2}{x} )}}{1/x} = \lim_{x \to \infty } \frac{2}{1+2/x} = 2 $
จึงได้ $ \lim_{x \to \infty } f(x) = e^2 $
ดังนั้น $ \lim_{n \to \infty } (1+\frac{2}{n } )^n = e^2 $

ทฤษฎีบท :

กำหนดให้ ลำดับ $ \{ a_n \} $ , $ \{ b_n \} $ และ $ \{ c_n \} $ เป็นลำดับที่สอดคล้อง $a_n \leq b_n \leq c_n $ ทุก $ n > N $ สำหรับจำนวนนับ $ N $
ถ้า $ \lim _{n \to \infty } a_n = \lim _{n \to \infty } c_n = L $ แล้ว $ \lim _{n \to \infty } b_n = L $

ทฤษฎีบท :

กำหนด ลำดับ $ \{ a_n \} $
ถ้า $ \lim _{n \to \infty } | a_n | = 0$ แล้ว $ \lim _{n \to \infty } a_n = 0$

ทฤษฎีบท :

กำหนด ลำดับ $ \{ a_n \} $
ถ้า $ \lim _{n \to \infty } a_n = L $ แล้ว $ \lim _{k \to \infty } a_{n_k} = L$ เมื่อลำดับ $ \{ a_{n_k} \} $ เป็นลำดับย่อยของลำดับ $ \{ a_n \} $

บทนิยาม

จะกล่าวว่า ลำดับ $ \{ a_n \} $ เป็น

ทฤษฎีบท

ทุกลำดับที่เป็นลำดับลู่เข้าจะเป็นลำดับที่มีขอบเขต

บทกลับของทฤษฎีบท ไม่จริง คือ มี ลำดับ ที่มีขอบเขต แต่เป็นลำดับลู่ออก เช่น
ลำดับ $ \{ (-1)^n \} $ เป็นลำดับที่มีขอบเขต แต่เป็นลำดับลู่ออก
จากตัวอย่างนี้จึงพอจะบอกได้ว่าเงื่อนไข การมีขอบเขตของลำดับ ไม่เพียงพอที่จะสรุปว่าลำดับลู่เข้า เราจึงพยายามหาเงื่อนไขเพิ่มเติม ซึ่งคือลำดับเพิ่ม กับลำดับลด ดังนิยามต่อไป

บทนิยาม

จะกล่าวว่า ลำดับ $ \{ a_n \} $ เป็น
ลำดับเพิ่ม ถ้า $ a_n \leq a_{n+1} $ ทุกจำนวนนับ $ n $
และ ลำดับลด ถ้า $ a_n \geq a_{n+1} $ ทุกจำนวนนับ $ n $

ทฤษฎีบท

ทุกลำดับเพิ่มที่มีขอบเขตบนจะเป็นลำดับลู่เข้า
และ ทุกลำดับลดที่มีขอบเขตล่างจะเป็นลำดับลู่เข้า

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขการเป็นลำดับเพิ่ม หรือ ลำดับลด อย่างเดียวก็ไม่เพียงพอที่จะสรุปว่า เป็นลำดับลู่เข้า
เช่น ลำดับ $ \{ n \} $ เป็นลำดับเพิ่ม แต่เป็นลำดับลู่ออก
ลำดับ $ \{ - n \} $ เป็นลำดับลด แต่เป็นลำดับลู่ออก
เราสามารถใช้โปรแกรม Sage ในการ plot กราฟ และ หาลิมิตของฟังก์ชัน ได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง plot กราฟ ฟังก์ชัน $\sin (x)/x $ เมื่อ $ 1 \leq x \leq 100 $ และ
กราฟของลำดับ $ a_n = \sin(n)/n $ เมื่อ $ n= 1,2,3, \dots ,100 $
หา $ \lim_{n \to \infty } \frac{\sin n}{n}$
โปรแกรมSageMath