อนุกรม
บทนิยาม
จะเรียกผลบวกของ ลำดับ $ \{ a_n \} $ ว่า อนุกรม $ a_n $ ซึ่งเขียนอยู่ในรูป
$ \sum_{n=1}^ \infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + + a_n + $
เรียก $ a_n $ ว่า พจน์ที่ $n $ หรือ พจน์ทั่วไป ของอนุกรม
บางครั้งเขียนแทน $ \sum_{n=1}^ \infty a_n $ ด้วย $ \sum a_n $
พิจารณาลำดับต่อไปนี้
ให้ $ S_1 = a_1 \\ S_2 = a_1 + a_2 \\ S_3 = a_1 + a_2 + a_3 \\ \vdots \\ S_n = a_1 + a_2 + a_3 ++a_n \\ \vdots $
จะเรียก ลำดับ $ \{ S_n \} $ ว่า ลำดับผลบวกย่อย ของอนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty a_n $
บทนิยาม
ให้ ลำดับ $ \{ S_n \} $ เป็นลำดับผลบวกย่อย ของอนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty a_n $
ถ้า ลำดับ$ \{ S_n \} $ ลู่ออก แล้ว จะกล่าวว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty a_n $ ลู่ออก
ถ้า ลำดับ $ \{ S_n \} $ ลู่เข้า แล้ว จะกล่าวว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty a_n $ ลู่เข้า
ในกรณีที่รู้ค่าลิมิตของลำดับ $ \{ S_n \} $
นั่นคือ
1. ถ้า $ \lim_{n \to \infty } S_n = S $ โดยที่ $ S $ เป็นจำนวนจริง
แล้วจะกล่าวว่า อนุกรม$ \sum_{n=1}^ \infty a_n $ มีผลบวกเท่ากับ $ S $ เขียนแทนด้วย $ \sum_{n=1}^ \infty a_n = S $
2. ถ้า $ \lim_{n \to \infty } S_n = \infty $ หรือ $ - \infty $ หรือ หาค่าไม่ได้
แล้วจะกล่าวว่า อนุกรม$ \sum_{n=1}^ \infty a_n $ หาผลบวกไม่ได้ หรือ ลู่ออก
ตัวอย่าง
จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ ว่าลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกด้วย
- $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{2^n}$
- $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n(n+1)}$
- $ \sum_{n=1}^ \infty \ln ( \frac{n+1}{n+2} )$
วิธีทำ
1. จาก $ S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} ..............(1) $
นำ $\frac{1}{2} $ คูณสมการ (1) ตลอดสมการได้
$\frac{1}{2} S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}} ..........( 2) $
(1) - (2) ได้ $ \frac{1}{2} S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}} $
ดังนั้น $ S_n = 1 - \frac{1}{2^n} $
จึงได้ว่า $ \lim_{n \to \infty } S_n = 1 $
นั่นคือ อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{2^n}$ ลู่เข้า มีผลบวกคือ $1 $
2. เนื่องจาก $ \frac{1}{n(n+1)} $ เขียนเป็นเศษส่วนย่อยได้ $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
จึงได้ $ S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} +\frac{1}{2 \cdot 3} + \dots +\frac{1}{n \cdot (n+1)} \\
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\
= 1- \frac{1}{n+1} $
ดังนั้น $ \lim_{n \to \infty } S_n = \lim_{n \to \infty } ( 1- \frac{1}{n+1} ) = 1 $
นั่นคือ อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n(n+1)} $ ลู่เข้า มีผลบวกคือ $1 $
3. จาก $ \ln ( \frac{n+1}{n+2} ) = \ln (n+1) - \ln (n+2) $
จึงได้ $ S_n = \ln 2 - \ln 3 + \ln 3 - \ln 4 + \dots + \ln (n+1) - \ln (n+2) \\
= \ln 2 - \ln (n+2) $
ดังนั้น $ \lim_{n \to \infty } S_n = \lim_{n \to \infty } ( \ln 2 - \ln (n+2) ) = - \infty $
นั่นคือ อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty \ln ( \frac{n+1}{n+2} )$ ลู่ออก
บทนิยาม
อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่อยู่ในรูป $ \sum_{n=1}^ \infty a r^{n-1} = a + a r + a r^2 + a r^3 + + a r^{n-1} + $ เมื่อ $ a \neq 0 $
เรียก $ r $ ว่า อัตราส่วนของอนุกรม
ทฤษฎีบท
อนุกรมเรขาคณิต
$ \sum_{n=1}^ \infty a r^{n-1} $
จะลู่ออก เมื่อ $ |r| \geq 1 $
จะลู่เข้า เมื่อ $ |r| < 1 $ และมีผลบวกคือ $ \frac{a}{1-r} $
นั่นคือ $ \sum_{n=1}^ \infty a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} $ เมื่อ $ |r| < 1 $
ทฤษฎีบท
ถ้า อนุกรม $ \sum a_n $ ลู่เข้า แล้ว $ \lim_{n \to \infty } a_n = 0 $
ประโยคที่สมมูลกับ ทฤษฎีบท คือ
ถ้า $ \lim_{n \to \infty } a_n \neq 0 $ แล้วอนุกรม $ \sum a_n $ ลู่ออก
ซึ่งสามารถใช้เป็นเครื่องมือในการทดสอบการลู่ออกของอนุกรม ดังนี้
ทฤษฎีบท (ทดสอบการลู่ออก)
ให้ $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมใด ๆ จะได้ว่า
ถ้า $ \lim_{n \to \infty } a_n $ หาค่าไม่ได้ หรือ $ \lim_{n \to \infty } a_n \neq 0 $ แล้วอนุกรม $ \sum a_n $ จะลู่ออก
ตัวอย่าง
จงแสดงว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่ออก
- $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{2n+3}{4n+5}$
- $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{n^2+3n+1}{4n+7 }$
- $ \sum_{n=1}^ \infty \sin n $
วิธีทำ
1. เนื่องจาก $ \lim_{n \to \infty } \frac{2n+3}{4n+5} =\lim_{n \to \infty } \frac{2 +\frac{3}{n}}{4+\frac{5}{n}} = \frac{2}{4} =\frac{1}{2} \neq 0 $
ดังนั้น โดยการทดสอบการลู่ออก จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{2n+3}{4n+5}$ ลู่ออก
2. เนื่องจาก $ \lim_{n \to \infty } \frac{n^2+3n+1}{4n+7} =\lim_{n \to \infty } n \frac{1 +\frac{3}{n} +\frac{1}{n^2} }{4+\frac{7}{n}} = \infty \neq 0 $
ดังนั้น โดยการทดสอบการลู่ออก จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{n^2+3n+1}{4n+7 }$ ลู่ออก
3. เนื่องจาก $ \lim_{n \to \infty } \sin n $ หาค่าไม่ได้
ดังนั้น โดยการทดสอบการลู่ออก จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty \sin n $ ลู่ออก
ทฤษฎีบท
ให้ $ \sum a_n $ และ $ \sum b_n $ เป็นอนุกรมใด ๆ จะได้ว่า
1. ถ้าอนุกรม $ \sum a_n $ และ $ \sum b_n $ เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า แล้วจะได้ว่า
อนุกรม$ \sum c a_n $ เมื่อ $c $ เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์
อนุกรม $ \sum ( a_n + b_n ) $
และ อนุกรม $ \sum ( a_n b_n ) $
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าด้วย
และยังได้ผลบวกเป็น
$ \sum c a_n = c \sum a_n $
$ \sum ( a_n + b_n ) = \sum a_n + \sum b_n $
$ \sum ( a_n - b_n ) = \sum a_n - \sum b_n $
2. ถ้า $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ $ \sum b_n $ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้วจะได้ว่า
อนุกรม $ \sum ( a_n + b_n ) $ เป็นอนุกรมลู่ออก
3. การเพิ่มหรือลดพจน์ที่เป็นจำนวนจำกัดพจน์ จะไม่มีผลต่อการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรม
นั่นคือ สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ จะได้ว่า
อนุกรม $ \sum_{n=1}^ \infty a_n= a_1 + a_2 + a_3 + $ และ
อนุกรม $ \sum_{n=k}^ \infty a_n= a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + $
จะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่