บทนิยาม

จะเรียก $ \sum a_n $ ว่า อนุกรมบวก ถ้า $ a_n > 0 $ ทุกจำนวนนับ $ n $

ทฤษฎีบท การทดสอบด้วยการใช้ปริพันธ์

กำนหด $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมซึ่ง $ a_n > 0 $ ทุกจำนวนนับ $ n \geq 1 $ และ
มีค่า $ k \geq 1 $ ที่ทำให้ $f $ เป็นฟังก์ชันลด และ ต่อเนื่องบนช่วง $ [k, \infty ) $ โดยที่ $ f(x) > 0 $ ทุกค่า $ x \geq k $ และ $ f(n) = a_n $ ทุกจำนวนนับ $ n \geq k $ จะได้ว่า
$ \int_{k}^\infty f(x) dx $ ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ $ \sum a_n $ ลู่เข้า

ตัวอย่าง

จงตรวจสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
  1. $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
  2. $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
วิธีทำ
1. ให้ $ f(x) = \frac{1}{x} $ จะได้ว่า $ f(x) > 0 $ และ ต่อเนื่องบนช่วง $ [1, \infty ) $
และ $ f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 $ ทุก $ x \in [1, \infty ) $ นั่นคือ $ f(x) $ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง$ [1, \infty ) $
พิจารณา
$ \int_{1}^{\infty} f(x) = \lim_{ t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} = \lim_{ t \to \infty} \ln t = \infty $
ดังนั้น ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $ \int_{1}^{\infty} f(x) $ ลู่ออก
โดยการทดสอบด้วยการใช้ปริพันธ์ จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ลู่ออก
2. ให้ $ f(x) = \frac{1}{ xู^2} $ จะได้ว่า $ f(x) > 0 $ และ ต่อเนื่องบนช่วง $ [1, \infty ) $
และ $ f'(x) = -\frac{2}{x^3} < 0 $ ทุก $ x \in [1, \infty ) $ นั่นคือ $ f(x) $ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง$ [1, \infty ) $
พิจารณา
$ \int_{1}^{\infty} f(x) = \lim_{ t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{ x^2} = \lim_{ t \to \infty} (-\frac{1}{t}+1) = 1 $
ดังนั้น ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $ \int_{1}^{\infty} f(x) $ ลู่เข้า
โดยการทดสอบด้วยการใช้ปริพันธ์ จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ลู่เข้า

บทนิยาม

อนุกรมพี คือ อนุกรมที่อยู่ในรูป $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{ n^p } = 1 + \frac{1}{2^p } + \frac{1}{3^p } + + \frac{1}{n^p } + $ โดยที่ $p > 0 $
ในกรณี $p = 1 $ อาจเรียก$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{ n } $ ว่า อนุกรมฮาร์มอนิก

ทฤษฎีบท

อนุกรมพี $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{ n^p } $
จะเป็นอนุกรมลู่เข้า เมื่อ $p > 1 $ และ
จะเป็นอนุกรมลู่ออก เมื่อ $ p \leq 1 $

ทฤษฎีบท การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ

ให้ $ \sum a_n $ และ $ \sum b_n $ เป็นอนุกรมบวกใด ๆ และ
สมมติว่า มี $ k $ ที่เป็นจำนวนนับ ที่ทำให้ $ a_n \leq b_n $ ทุก $ n \geq k $
1. ถ้า $ \sum b_n $ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้วจะได้ว่า $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมลู่เข้าด้วย
2. ถ้า $ \sum a_n $ เป็นอนุกรมลู่ออก แล้วจะได้ว่า $ \sum b_n $ เป็นอนุกรมลู่ออกด้วย

ตัวอย่าง

จงตรวจสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
  1. $ \sum_{n=2}^\infty \frac{ \ln n }{n}$
  2. $ \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2+ \sin n}{n^2+1 }$
วิธีทำ
1. ให้ อนุกรม $ \sum_{n=2}^\infty b_n $ โดยที่ $ b_n = \frac{1} {n}$
จะได้ว่า $ \frac{ \ln n }{n} > \frac{1}{n} $ ทุกค่า $ n \geq 3 $
และจาก อนุกรม $ \sum_{n=2}^\infty \frac{1} {n} $ เป็นอนุกรมลู่ออก
ดังนั้น โดยการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=2}^\infty \frac{ \ln n }{n}$ ลู่ออก
2. ให้ อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ โดยที่ $ b_n = \frac{3} { n^2} $
จาก $ -1 \leq \sin n \leq 1 $
ดังนั้น $ 1 \leq 2 + \sin n \leq 3 $ ได้ $ \frac{ 2+ \sin n}{n^2+1 } \leq \frac{ 3 }{n^2+1 } \leq \frac{ 3 }{n^2 } $
จาก $ \sum_{n=1}^\infty \frac{3} { n^2} = 3 \sum_{n=1}^\infty \frac{1} { n^2} $ ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า
เพราะ อนุนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1} { n^2} $ เป็นอนุกรม $ p = 2 > 1 $
ดังนั้น โดยการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2+ \sin n}{n^2+1 }$ ลู่เข้า

ทฤษฎีบท การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบลิมิต

ให้ $ \sum a_n $ และ $ \sum b_n $ เป็นอนุกรมบวกใด ๆ และ
สมมติว่า $ \lim_{n \to \infty } \frac{ a_n }{ b_n } = L $
1. ถ้า $ L $ เป็นจำนวนจริง และ $ 0 < L < \infty $ แล้ว $ \sum a_n $ และ $ \sum b_n $ ลู่เข้าหรือลู่ออกด้วยกันทั้งคู่
2. ถ้า $ L=0 $ และ $ \sum b_n $ ลู่เข้า แล้ว จะได้ว่า $ \sum a_n $ ลู่เข้า ด้วย
3. ถ้า $ L = \infty $ และ $ \sum b_n $ ลู่ออก แล้ว จะได้ว่า $ \sum a_n $ ลู่ออก ด้วย

ตัวอย่าง

จงตรวจสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
  1. $ \sum_{n=1}^\infty \frac{ 4 \sqrt{n}}{3 n - 1 }$
  2. $ \sum_{n=1}^\infty \frac{ n^5+3 n^3 - 2n +1 }{n^8 +7 n^6 - 1 }$
วิธีทำ
1. ให้ อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ โดยที่ $ b_n = \frac{1} {\sqrt{n}}$
จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{ 4 \sqrt{n}}{3 n - 1 } }{\frac{1} {\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty } \frac{4 }{3-\frac{1}{n}} = \frac{4}{3}$
จาก อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {\sqrt{n}} $ เป็นอนุกรม $ p = \frac{1}{2} < 1 $ ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก
โดย การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบลิมิต จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{ 4 \sqrt{n}}{3 n - 1 }$ ลู่ออก
2. ให้ อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ โดยที่ $ b_n = \frac{1} {n^3} $
จะได้ว่า $ \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{ n^5+3 n^3 - 2n +1 }{n^8 +7 n^6 - 1 } }{\frac{1} {n^3}} = \lim_{n \to \infty } \frac{ 1+\frac{3}{n^2} -\frac{2}{n^4}+\frac{1}{n^5} }{1+\frac{7}{n} - \frac{1}{n^8}} = 1 $
จาก อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^3} $ เป็นอนุกรม $ p = 3 > 1 $ ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า
โดย การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบลิมิต จึงได้ว่า อนุกรม $ \sum_{n=1}^\infty \frac{ n^5+3 n^3 - 2n +1 }{n^8 +7 n^6 - 1 }$ ลู่เข้า