อนุพันธ์ย่อย

• อนุพันธ์ย่อยของ $f(x,y) $ เทียบกับ $x$ ที่จุด $(a,b) $ เขียนแทนด้วย $f_x (a,b) $คือ
  $lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$ เมื่อลิมิตหาค่าได้
• อนุพันธ์ย่อยของ $f(x,y) $ เทียบกับ $y $ ที่จุด $(a,b) $ เขียนแทนด้วย $f_y (a,b) $ คือ
  $lim_{h \to 0 } \frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}$ เมื่อลิมิตหาค่าได้

• อนุพันธ์ย่อยของ $f(x,y) $ เทียบกับ $x$ ที่จุด $(x,y) $ ใด ๆ เขียนแทนด้วย $f_x (x,y) $คือ
  $lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$ เมื่อลิมิตหาค่าได้
• อนุพันธ์ย่อยของ $f(x,y) $ เทียบกับ $y $ ที่จุด $(x,y) $ เขียนแทนด้วย $f_y (x,y) $ คือ
  $lim_{h \to 0 } \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$ เมื่อลิมิตหาค่าได้

ถ้า $z=f(x,y) $ แล้ว อนุพันธ์ย่อย สามารถเขียนแทนด้วย
• $f_x(x,y) \quad = f_x \quad = \frac{\partial f }{\partial x } \quad = \frac{\partial }{\partial x } f(x,y) \quad = \frac{\partial z }{\partial x } $
• $f_y (x,y) \quad = f_y \quad = \frac{\partial f }{\partial y } \quad = \frac{\partial }{\partial y } f(x,y) \quad = \frac{\partial z }{\partial y } $

ตัวอย่าง

• $f_x (x,y) $  และ $ f_y (x,y) $
• $f_x (0,-1)$  และ $ f_y (0,-1) $

วิธีทำ

ความหมายทางเรขาคณิต

สำหรับฟังก์ชัน สามตัวแปร $w=f(x,y,z) $

• อนุพันธ์ย่อยของ $f(x,y,z) $ เทียบกับ $x$ ที่จุด $(a,b,c) $ เขียนแทนด้วย $f_x (a,b,c) $คือ
  $lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h,b,c)-f(a,b,c)}{h}$ เมื่อลิมิตหาค่าได้
• อนุพันธ์ย่อยของ $f(x,y,z) $ เทียบกับ $y$ ที่จุด $(a,b,c) $ เขียนแทนด้วย $f_y (a,b,c) $คือ
  $lim_{h \to 0 } \frac{f(a,b+h,c)-f(a,b,c)}{h}$ เมื่อลิมิตหาค่าได้
• อนุพันธ์ย่อยของ $f(x,y,z) $ เทียบกับ $z$ ที่จุด $(a,b,c) $ เขียนแทนด้วย $f_z (a,b,c) $คือ
  $lim_{h \to 0 } \frac{f(a,b,c+h)-f(a,b,c)}{h}$ เมื่อลิมิตหาค่าได้

ตัวอย่าง

1. $f(x,y,z) = x^2 y^3 z^4 + x \sin y \cos z +y e^x + 2z $
2. $f(x,y,z) = x \ln y + y \ln z + z \ln x +xyz $

วิธีทำ

1. $f_x (x,y,z) = 2x y^3 z^4 + \sin y \cos z +y e^x \\ f_y (x,y,z) = 3 x^2 y^2 z^4 + x \cos y \cos z + e^x \\ f_z (x,y,z) =4 x^2 y^3 z^3 - x \sin y \sin z + 2$


2. $f_x (x,y,z) = \ln y + \frac{z}{x} + yz \\ f_y (x,y,z) =\frac{x}{y} + \ln z + xz \\ f_z (x,y,z) = \frac{y}{z} + \ln x +xy $

อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง

1. อนุพันธ์ย่อยของ $f_x (x,y) $ เทียบกับ $x$ เขียนแทนด้วย $f_{xx} (x,y) = \big( f_x (x,y) \big ) _x $
2. อนุพันธ์ย่อยของ $f_x (x,y) $ เทียบกับ $y$ เขียนแทนด้วย $f_{xy} (x,y) = \big( f_x (x,y) \big ) _y $

1. อนุพันธ์ย่อยของ $f_y (x,y) $ เทียบกับ $x$ เขียนแทนด้วย $f_{yx} (x,y) = \big( f_y (x,y) \big ) _x $
2. อนุพันธ์ย่อยของ $f_y (x,y) $ เทียบกับ $y$ เขียนแทนด้วย $f_{yy} (x,y) = \big( f_y (x,y) \big ) _y $

1. $f_{xx} (x,y) \quad = f_{xx} \quad = \frac{\partial ^2 f }{\partial x^2 } \quad = \frac{\partial ^2 }{\partial x^2 } f(x,y) \quad = \frac{\partial ^2 z }{\partial x^2 } $
2. $f_{xy} (x,y) \quad = f_{xy} \quad = \frac{\partial ^2 f }{\partial y \partial x } \quad = \frac{\partial ^2 }{\partial y \partial x } f(x,y) \quad = \frac{\partial ^2 z }{\partial y \partial x } $
3. $f_{yx} (x,y) \quad = f_{yx} \quad = \frac{\partial ^2 f }{\partial x \partial y } \quad = \frac{\partial ^2 }{\partial x \partial y } f(x,y) \quad = \frac{\partial ^2 z }{\partial x \partial y } $
4. $f_{yy} (x,y) \quad = f_{yy} \quad = \frac{\partial ^2 f }{ \partial y^2 } \quad = \frac{\partial ^2 }{\partial y^2 } f(x,y) \quad = \frac{\partial ^2 z }{ \partial y^2 } $

โดยทั่วไป $f_{xy} (a,b) \neq f_{yx}(a,b) $

ทฤษฎีบท

กรณี ฟังก์ชัน มากกว่า สองตัวแปร ก็สามารถ นิยาม และใช้สัญลักษณ์ เหมือนกันกับ สองตัวแปร

ตัวอย่าง

วิธีทำ