A:hover {color: #FF0000; font-weight: bold}
6.4 การประมาณค่าที่ดี : โดยใช้ Least Squares
ในส่วนนี้ เราจะแสดงว่า Orthogonal projection สามารถที่จะแก้ปัญหาของการประมาณได้อย่างถูกต้อง โดยผลลัพธ์ที่ประกฎในส่วนนี้ จะเป็นแบบกว้าง โดยจะรวมไว้ทั้งคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์
การมอง Orthogonal projection เป็นการประมาณค่า
ถ้า P เป็นจุดในปริภูมิ 3 มิติ และ W เป็นจุดในแนวระดับที่จุดกำเนิด, ดังนั้น จุด Q ใน W ที่ใกล้กับจุด P มากที่สุด จะสามารถหาได้ โดยการลากเส้นตั้งฉากจาก P ไปยัง W
ดังนั้น ถ้าเราให้ u = 
, ระยะทางระหว่าง P และ W สามารถหาได้โดย
|| u - projw u ||
หรืออีกนัยหนึ่ง, จำนวนเวกเตอร์ w ใน W, เวกเตอร์ w = projw u ทำให้ระยะทางของ || u - w || สั้นที่สุด
ยังมีทางอื่นในการคิดเกี่ยวกับแนวคิดนี้ ให้มอง u เป็นเวกเตอร์คงที่ ที่เราสามารถประมาณค่าได้โดยการใช้เวกเตอร์ใน W โดยการประมาณค่า w จะแสดงค่าเป็น "error vector"
u - w
ซึ่งเว้นแต่ว่า u จะอยู่ใน W ไม่สามารถที่จะทำให้เท่ากับ 0 ได้ อย่างไรก็ดี โดยการเลือกใช้
w = projw u
เราสามารถสร้างระยะของ error vector ได้
|| u - w || = || u - projw u ||
ด้วยขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ดังนั้น เราจึงสามารถเรียก projw u ว่าเป็น "การประมาณค่าที่ดีที่สุด" ไปสู่ u โดยเวกเตอร์ใน W โดยทฤษฎีบทต่อไปนี้จะสร้างให้ความคิดเหล่านี้ถูกต้อง
|
Theorem 6.4.1 |
Best Approximation Theorem |
|
ถ้า W เป็นเป็น subspace ที่มีมิติจำกัดของ inner product space V และ ถ้า u เป็นเวกเตอร์ใน V เมื่อนั้น projw u เป็นการประมาณค่าที่ดีทีสุดของ u จาก W จากเหตุผลดังต่อไปนี้ || u - projw u || < || u - w || สำหรับทุกๆ เวกเตอร์ w ใน W ที่ไม่เหมือนกัน projw u |
|
หน้าต่อไป
HOME