พิสูจน์ Theorem 6.4.1
proof. สำหรับทุกๆ เวกเตอร์ w ใน W เราสามารถเขียน
u - w = (u - projw u) + (projw u - w) (1)แต่ projw u - w เป็นเวกเตอร์ที่แตกต่างจากเวกเตอร์ใน W ถ้าอยู่ใน W ; และ
u - projw u เป็น orthogonal ของ W และทั้งสองเทอมทางด้านขวาของสมการ (1) ล้วนเป็น orthogonal ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทของ ปีทาโกรัส จะได้|| u - w ||2 = || u - projw u ||2 + || projw u - w ||2
ถ้า w
projw
u
จะทำให้เทอมที่สองของสมการนี้จะกลายเป็น
positive ดังนั้น
|| u - w ||2 = || u - projw u ||2
หรือเท่ากับ
|| u - w || = || u - projw u ||