เราสามารถจะหาวิธีการของ Least Square ของ Ax = b จากการคำนวณหาเวกเตอร์ projw b และแก้สมการที่ (2); แต่อย่างไรก็ตามก็ยังมีวิธีการที่ใกล้เคียงกว่า: ซึ่งมาจาก Projection Theorem 6.3.4 และสมการที่ (5) ของส่วนที่ 6.3 คือ

b - Ax = b - projw

เป็น orthogonal ไปยัง W แต่ W เป็น column space ของ A ดังนั้น จึงมาจากทฤษฎีบทที่ 6.2.6 ที่กล่าวว่า b - Ax จะอยู่ใน nullspace ของ AT เพื่อแบบนั้นวิธีการ least square ของ Ax = b จะต้องเป็นไปตาม

                                                                AT(b - Ax) = 0

หรือสมมูลกับ

                                                                ATAx = ATb                                                             (3)

นี่เรียกว่า ระบบสมการทั่วไป (normal system) ที่เกี่ยวข้องกับ Ax = b และแต่ละสมการจะเรียกว่า สมการทั่วไป (normal equation) ที่เกี่ยวข้องกับ Ax = b ดังนั้น ปัญหาในการหา least square solution ของ Ax = b จะถูกลดลงเหลือเพียงปัญหาในการหาคำตอบที่ถูกต้องของ ความสัมพันธ์ของ ระบบ สมการทั่วไป

ข้อสังเกตเกี่ยวกับระบบสมการทั่วไป

ระบบสมการทั่วไปจะมี n สมการในตัวแปร n ตัว(ตรวจสอบ)
ระบบสมการทั่วไปต้องแน่นอน, จากการที่มันเป็นไปตาม least square solution ของ Ax = b
ระบบสมการทั่วไปจะมีหลายวิธีการ, โดยในวิธีการทั้งหมด ก็มี least square solution ของ Ax = b อยู่ด้วย

จากข้อสังเกตและสมการที่ (2) เราจะได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

Theorem 6.4.2

  

สำหรับทุกๆ ระบบสมการเชิงเส้น Ax = b, ความสัมพันธ์ของระบบทั่วไป

ATAx = ATb

และวิธีการทั้งหมดของระบบสมการทั่วไป เป็น least square solution ของ Ax = b มากกว่านั้น, ถ้า W เป็นปริภูมิแถวของ A และ x เป็น least square solution ใดๆ ของ Ax = b เมื่อนั้น orthogonal projection ของ b บน W คือ

projw b = Ax

ย้อนกลับ                                                                                             ต่อไป