ความเป็นหนึ่งเดียวของ Least Square Solution ก่อนที่เราจะพิสูจน์ในทางคำนวณ, เราจะต้องสร้างเงื่อนไขที่ว่า ระบบสมการเชิงเส้น จะต้องมี Least square solution เพียงหนึ่งเดียว เราต้องการทฤษฎีบทต่อไปนี้ 
Theorem 6.4.3  
ถ้า A เป็น เมทริกซ์ขนาด m ? n ต่อไปนี้จะสมมูลกัน

(a) A มีความอิสระเชิงเส้นของ column เวกเตอร์ (b) ATA มีอินเวอร์ส
พิสูจน์, เราจะพิสูจน์จาก (a) ? (b)

(a) ? (b) ตั้งสมมติฐานว่า A มีความอิสระเชิงเส้นของ column เวกเตอร์ เมทริกซ์ ATA มีขนาด n ? n ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าเมทริกซ์นี้ มีอินเวอร์ส โดยแสดงให้เห็นว่า ระบบสมการเชิงเส้น ATAx = 0 จะมีเพียงคำตอบเดียว แต่ถ้า x เป็นวิธีการใดๆ ของระบบนี้, ดังนั้น Ax จะเป็น nullspace ของ AT และอยู่ใน column space ของ A จากทฤษฎีบท 6.2.6 แสดงว่า space นี้ เป็น orthogonal complement ดังนั้นส่วน (b) ของทฤษฎีบทที่ 6.2.5 หมายความว่า Ax = 0 แต่ A มีความอิสระเชิงเส้นของ column เวกเตอร์ ดังนั้น x = 0 จากทฤษฎีบท 5.6.8

ทฤษฎีบทต่อไป เป็นผลโดยตรงมาจาก ทฤษฎีบทที่ 6.4.2 และ 6.4.3 โดยละเว้นรายละเอียด 

Theorem 6.4.4  
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด m ? n ที่มีความอิสระเชิงเส้นของ column เวกเตอร์ ดังนั้น สำหรับทุกๆ เมทริกซ์ b ที่มีขนาด n ? 1 ระบบสมการ Ax = b มี least square solution เพียงหนึ่งเดียว วิธีการนี้ได้ มาจาก

x = (ATA)-1ATb (4)

และมากกว่านั้น, ถ้า W เป็นปริภูมิหลักของ A ดังนั้น orthogonal projection ของ b บน W คือ

projw b = Ax = (ATA)-1ATb (5)
ข้อสังเกต สมการที่ (4) และ (5) ตามหลักการหลายๆ อย่าง, แต่ก็ไม่มีประสิทธิภาพในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ Least square solution ของ Ax = b จะดีที่สุดถ้าคำนวณโดยใช้วิธี Gaussian หรือ Gauss - Jordan เพื่อแก้สมการทั่วไป, และ orthogonal projection ของ b บน column space ของ A เป็นวิธีที่ดีที่สุดโดยการคำนวณ Ax, โดยที่ x เป็น least square solution ของ Ax = b
สรุป ทฤษฎีบทที่ 6.4.3 สามารถทำให้เราเพิ่มผลลัพธ์ใหม่เข้าไปในทฤษฎีบทที่ 6.2.7 
Theorem 6.4.5 Equivalent Statement
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด n ? n และถ้า TA:Rn (R) Rn คูณด้วย A แล้ว ต่อไปนี้จะสมมูล
  1. A สามารถหาอินเวอร์สได้
  2. Ax = 0 จะมีคำตอบเดียว
  3. รูป row reduce-echelon ของ A คือ lm
  4. A สามารถเป็นผลของเมทริกซ์มาตรฐานได้
  5. Ax = b สอดคล้องกับทุกๆ เมทริกซ์ b ที่มีขนาด n? 1
  6. Ax = b จะมีเพียงคำตอบเดียวสำหรับทุกๆ เมทริกซ์ b ที่มีขนาด n? 1
  7. Det(A) ? 0
  8. range ของ TA คือ Rn
  9. TA เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
  10. column เวกเตอร์ของ A เป็นอิสระเชิงเส้น
  11. row เวกเตอร์ของ A เป็นอิสระเชิงเส้น
  12. column เวกเตอร์ของ A แผ่ทั่วถึง Rn
  13. row เวกเตอร์ของ A แผ่ทั่วถึง Rn
  14. A มี rank = n
  15. A มี nullity = 0
  16. ส่วนเสริมเชิงตั้งฉาก(orthogonal complement) ของ nullspace ของ A คือ Rn
  17. ส่วนเสริมเชิงตั้งฉาก(orthogonal complement) ของ row space ของ A คือ (0)
  18. ATA มีอินเวอร์ส 

ย้อนกลับ    HOME