" ทุกๆ เซตย่อยที่ไม่ใช่เซตว่างของเซตของจำนวนนับจะมีสมาชิกที่มีค่าน้อยสุด "

ทฤษฎีบท 1.1  (First  principle of Finite induction)

 ถ้า S เป็นสับเซตของ N และ S มีคุณสมบัติดังนี้
1) $ 1 \in S $
2) ถ้า $ k \in S แล้ว k+1 \in S จะได้ว่า S= N $
พิสูจน์

ทฤษฎีบท 1.2  วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่ 1
 (The First method of proof by mathematical induction)

 สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n
 ถ้า     1)   P(1) เป็นจริง
 และ   2)   สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1)  เป็นจริงด้วย
 จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

พิสูจน์

ตัวอย่าง 1  จงพิสูจน์ว่า 1 + 5 + 9 + ... + (4n -3) = n(2n - 1) เป็นจริงสำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n
วิธีทำ

ทฤษฎีบท 1.3

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n
ให้ $ m > 1 $ และสามารถแสดงได้ว่า
1. $P(m) $ เป็นจริง
2. สำหรับจำนวนเต็มบวก $ k > m $ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1)  เป็นจริงด้วย

 จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก $ n \geq m $

ทฤษฎีบท 1.4  วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่ 2
 ( The second method of proof by mathematical induction )

 สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n
 ถ้า   1)    P(1) เป็นจริง
 และ 2)    สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก k
  ถ้า P(2), P(3), , P(k) เป็นจริง    แล้ว P(k+1) เป็นจริง
 จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

ตัวอย่าง 2   พิจารณาลำดับ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,  ...

 ซึ่งมีชื่อเรียกว่า ลำดับฟิโบนักซี (Fibonacci sequqnce) ซึ่งกำหนดพจน์ที่ n ดังนี้
  u₁ = 1, u₂ = 2
  u_n = u_n-1 + u_n-2           สำหรับจำนวนเต็มบวก n ซึ่ง $n \geq 3 $
 จงพิสูจน์ว่า u_n <  (7/4)ⁿ  เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

แบบฝึกหัด