ความต่อเนื่อง

บทนิยาม

ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" $y$ หรือ $f(x)$ มีความต่อเนื่องที่ $x=a$ "
ก็ต่อเมื่อ $$ \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $$

บทนิยาม

ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" $y$ หรือ $f(x)$ มีความต่อเนื่องทางซ้ายที่ $x=a$ "
ก็ต่อเมื่อ $$ \lim_{x \to a^{-} } f(x) = f(a) $$

บทนิยาม

ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" $y$ หรือ $f(x)$ มีความต่อเนื่องทางขวาที่ $x=a$ "
ก็ต่อเมื่อ $$ \lim_{x \to a^{+} } f(x) = f(a) $$

ทฤษฎีบท(พีชคณิตความต่อเนื่อง)

ถ้า $ f(x) $ และ $g(x) $ มีความต่อเนื่องที่ $ x= a $ แล้ว
$ \begin{align} & 1. f(x) +g(x) มีความต่อเนื่อง ที่ x= a \\ & 2. f(x) -g(x) มีความต่อเนื่อง ที่ x= a \\ & 3. f(x) \cdot g(x) มีความต่อเนื่อง ที่ x= a \\ & 4. \frac{f(x)}{g(x)} มีความต่อเนื่อง ที่ x= a เมื่อ g(a) \neq 0 \\ \end{align} $

หมายเหตุ

ทฤษฎีบท พีชคณิตความต่อเนื่อง ยังเป็นจริง สำหรับ ความต่อเนื่องทางซ้าย และ ความต่อเนื่องทางขวา

บทนิยาม

จะกล่าวว่าฟังก์ชัน $f(x)$ ต่อเนื่องบนเซต $A $ ก็ต่อเมื่อ $f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=a$ ทุก $a \in A$
กรณี เซต$ A $ เป็นช่วงปิด $ [ a,b ] $ จะพิจารณา $f(x)$ ต่อเนื่องบนช่วงเปิด $ ( a, b ) $ และ $f(x)$ ต่อเนื่องทางขวาที่ $x=a$และ $f(x)$ ต่อเนื่องทางซ้ายที่ $x=b$
กรณี เซต$ A $ เป็นช่วงเปิดปิด $ ( a,b ] $ หรือ ช่วงปิดเปิด $ [ a,b ) $ จะพิจารณาทำนองเดียวกัน

ทฤษฎีบท

ถ้า $f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=a$ และ $g(x) $ ต่อเนื่องที่ $x=f(a)$ แล้ว จะได้ว่า ฟังก์ชันประกอบ $(g \circ f ) (x) =g(f(x)) $ ต่อเนื่องที่ $x=a$ และได้ว่า $$ \lim_{x \to a} g(f(x)) = g \lgroup \lim_{x \to a} f(x) \rgroup = g(f(a)) $$

ตัวอย่าง

จากฟังก์ชัน $ f(x) $ ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่า $ f(x) $ ไม่ต่อเนื่องที่ ใดบ้าง
$ \begin{align} &1. f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x-2} & & 2. f(x) = \frac{x^2-2x-3}{x^2+3} \\ & 3. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{1+x}{x^2} & ,x \neq 0 \\ 1 & ,x = 0 \end{array} \right. & & 4. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{1-x}{x^2-1} & ,x \neq 1 \\ -\frac{1}{2} & ,x = 1 \end{array} \right. \end{align} $

ตัวอย่าง

ฟังก์ชัน $ f(x) = | x | $ ต่อเนื่องบนเซตจำนวนจริง

ตัวอย่าง

ฟังก์ชัน $ f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{ | x |}{x} & ,x \neq 0 \\ -1 & ,x =0 \end{array} \right. , $ ต่อเนื่องบนช่วง $( -\infty ,0 ] $ แต่ไม่ต่อเนื่องบนช่วง $ [ 0,2 ) $

ตัวอย่าง

ฟังก์ชัน $ f(x) = 1 - \sqrt{4-x^2}$ ต่อเนื่องบนช่วงปิด $ [ -2,2] $

แบบฝึกหัด

จากฟังก์ชัน$f(x)$ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่า $f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=a$ หรือไม่
$ \begin{align} &1. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} 2x-3 & ,x \leq 2 \\ x^2 & ,x >2 \end{array} \right. , a = 2 & & 2. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{x^2-x}{x^2-1} & ,x \neq 1 \\ 1 & ,x =1 \end{array} \right. , a = 1 \\ & 3. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{x^2-9}{x-3} & ,x \neq 3 \\ 6 & ,x =3 \end{array} \right. , a = 3 & & 4. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{ | x | }{x} & ,x \neq 0 \\ -1 & ,x =0 \end{array} \right. , a = 0 \\ & จากฟังก์ชัน f(x) ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่า f(x) ไม่ต่อเนื่องที่ ใดบ้าง \\ &5. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} 1+x^2 & , x \leq 0 \\ 2-x & , 0 < x \leq 2 \\ (x-2)^2 & , x>2 \end{array} \right. \\ & 6. f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} 1+x & , x \leq 1 \\ \frac{1}{x} & , 1 < x < 3 \\ \sqrt{x-3} & , x \geq 3 \end{array} \right. \\ & 7. ถ้า f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตจำนวนจริง โดยรู้ว่า f(3)=5 และ \lim_{x \to 3} [ 2f(x)-g(x) ] =4 \\ & จงหาค่า g(3) \\ & 8. จงหาค่า c ที่จะทำให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนเซตจำนวนจริง เมื่อ \\ & f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} cx^2+2x & ,x < 2 \\ x^3 - cx & ,x \geq 2 \end{array} \right. \\ & 9. จงหาค่า a,b ที่จะทำให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนเซตจำนวนจริง เมื่อ \\ & f(x) = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{x^2-4}{x-2} & ,x < 2 \\ ax^2-bx+3 & , 2 \leq x < 3 \\ 2x-a+b & , x \geq 3 \end{array} \right. \\ \end{align} $