ลิมิตฟังก์ชันหนึ่งตัวแปร
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่า เท่ากับจำนวนจริง $L$ เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a $ "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to a} f(x) = L$$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ \epsilon > 0 $ จะมีจำนวนจริง $\delta > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
ถ้า $ 0< | x-a| < \delta $ แล้ว $| f(x) - L | < \epsilon $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่า เท่ากับจำนวนจริง $L$ เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a $ ทางซ้าย "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to a^ -} f(x) = L$$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ \epsilon > 0 $ จะมีจำนวนจริง$\delta > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
ถ้า $ 0< a - x < \delta $ แล้ว $| f(x) - L | < \epsilon $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่า เท่ากับจำนวนจริง $L$ เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a $ ทางขวา"
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L$$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ \epsilon > 0 $ จะมีจำนวนจริง $\delta > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
ถ้า $ 0< x-a < \delta $ แล้ว $| f(x) - L | < \epsilon $
ทฤษฎีบท
$
\begin{align}
& ถ้า \lim_{x \to a} f(x) = L_1 และ \lim_{x \to a} f(x) = L_2 แล้วจะได้ว่า L_1 = L_2 \\
& ถ้า f(x)= C แล้ว \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} C = C \\
& ถ้า f(x)= x แล้ว \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} x = a \\
\end{align}
$
ทฤษฎีบท(พีชคณิตลิมิต)
ถ้า $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ และ $ \lim_{x \to a} g(x) = M $ เมื่อ $L,M $ เป็นจำนวนจริงจะได้ว่า
$
\begin{align}
& 1. \lim_{x \to a} (f(x) +g(x)) = L+M \\
& 2. \lim_{x \to a} (f(x) -g(x)) = L-M \\
& 3. \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M \\
& 4. \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} เมื่อ M \neq 0 \\
\end{align}
$
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to 2} 3x+4 & &
2. \lim_{x \to 1} x^2 +2x+3 \\
& 3. \lim_{x \to 0} \frac{x^2 +4}{x+4} & &
4. \lim_{x \to 1} \frac{x^3 -1}{x+1}
\end{align}
$
ทฤษฎีบท
ถ้า $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ แล้ว $ \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} $
กรณี $n$ เป็นจำนวนนับคู่ $L > 0 $
ทฤษฎีบท
ถ้า มี จำนวนจริง $\delta > 0 $ทำให้ $f(x)=g(x) $ ทุก $x \in (a-\delta,a+\delta ) - \{ a \} $ แล้ว $$ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) $$ เมื่อ $g(x)$ มีลิมิตที่ $x=a$
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to 2} \sqrt{3x-2} & &
2. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x +1}+1}{x+1} \\
& 3. \lim_{x \to 2} \frac{x^2 -4}{x-2} & &
4. \lim_{x \to -1} \frac{x^3 +1}{x+1} \\
& 5. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x +1}-1}{x} & &
6. \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x +3}-2}{x^2-1} \\
& 7. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x +1}-1}{x} & &
8. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x +1}-1}{\sqrt{x+4}-2} \\
\end{align}
$
วิธีทำ 5.
วิธีทำ 6.
ทฤษฎีบท
$ \lim_{x \to a} f(x) = L$ ก็ต่อเมื่อ $ \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L = \lim_{x \to a^{+}} f(x) $
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to 0} \vert x \vert & &
2. \lim_{x \to 0} \frac{\vert x \vert }{x} \\
& 3. \lim_{x \to -1} \frac{1- \vert x \vert}{1+x} & &
4. \lim_{x \to 1} \frac{x^2 -1}{ \vert x-1 \vert }
\end{align}
$
วิธีทำ 1.
วิธีทำ 2.
ทฤษฎีบท (บีบ)
ถ้า มี จำนวนจริง $\delta > 0 $ทำให้ $g(x) \leq f(x) \leq h(x) $ ทุก $x \in (a-\delta,a+\delta ) - \{ a \} $ และ $ \lim_{x \to a} g(x) = L = \lim_{x \to a} h(x) $แล้ว $$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต $ \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x^2} $
วิธีทำ
ตัวอย่าง
จาก $\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1 $ ทุก $x \in (-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2} ) - \{ 0 \} $จงหาค่าลิมิต $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้
แบบฝึกหัด
จงหาค่า ลิมิต ต่อไปนี้
$ \begin{align}
&1. \lim_{x \to 2} 4x+5 & &
2. \lim_{x \to 1} x^2 +3x+4 \\
& 3. \lim_{x \to 0} \frac{x^2 +9}{x+3} & &
4. \lim_{x \to 2} \frac{x^3 -8}{x+2} \\
&5. \lim_{x \to 1} \sqrt{4x-3} & &
6. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x +4}+2}{x+4} \\
& 7. \lim_{x \to 3} \frac{x^2 -9}{x-3} & &
8. \lim_{x \to -2} \frac{x^3 +8}{x+2} \\
& 9. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x +4}-2}{x} & &
10. \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x +8}-3}{x^2-1} \\
&11. \lim_{x \to 2} \vert x-2 \vert & &
12. \lim_{x \to 1} \frac{\vert x-1 \vert }{x-1} \\
& 13. \lim_{x \to -2} \frac{2- \vert x \vert}{2+x} & &
14. \lim_{x \to 3} \frac{x^2 -9}{ \vert x-3 \vert }\\
&15. \lim_{x \to 0} x^4 \sin \frac{\pi}{x^2} & &
16. \lim_{x \to 0} x^4+x^2 \cos \frac{2}{x^4}
\end{align}
$