ลิมิตที่เกี่ยวข้องอนันต์
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่า เท่ากับจำนวนจริง $L$ เมื่อ $x$ มีค่าเพิ่มขึ้นอนันต์ $ \infty $ "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = L$$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ \epsilon > 0 $ จะมีจำนวนจริง$ N > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
$| f(x) - L | < \epsilon $ ทุก $ x > N $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่า เท่ากับจำนวนจริง $L$ เมื่อ $x$ มีค่าลดลงอนันต์ $ -\infty $ "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = L$$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ \epsilon > 0 $ จะมีจำนวนจริง$ N > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
$| f(x) - L | < \epsilon $ ทุก $ x < -N $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าเพิ่มขึ้นอนันต์ $ \infty $ เมื่อ $x$ มีค่าเพิ่มขึ้นอนันต์ $ \infty $ "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to \infty } f(x) = \infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ M > 0 $ จะมี จำนวนจริง$N > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
$f(x) > M $ ทุก $ x > N $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าลดลงอนันต์ $ - \infty $ เมื่อ $x$ มีค่าเพิ่มขึ้นอนันต์ $ \infty $ "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to \infty } f(x) = -\infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก จำนวนจริง $ M > 0 $ จะมีจำนวนจริง$N > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
$f(x) < -M $ ทุก $ x > N $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าเพิ่มขึ้นอนันต์ $ \infty $ เมื่อ $x$ มีค่าลดลงอนันต์ $ -\infty $ "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = \infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก จำนวนจริง$ M > 0 $ จะมีจำนวนจริง$N > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
$f(x) > M $ ทุก $ x < -N $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าลดลงอนันต์ $ -\infty $ เมื่อ $x$ มีค่าลดลงอนันต์ $ -\infty $ "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = -\infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ M > 0 $ จะมีจำนวนจริง$N > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
$f(x) < -M $ ทุก $ x < -N $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าเพิ่มขึ้นอนันต์ $ \infty $
เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a $ ทางซ้าย "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ M > 0 $ จะมีจำนวนจริง$ \delta > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
ถ้า $ a-x < \delta $ แล้ว $f(x) > M $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าเพิ่มขึ้นอนันต์ $ \infty $
เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a $ ทางขวา "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to a^{+} } f(x) = \infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ M > 0 $ จะมีจำนวนจริง$ \delta > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
ถ้า $ x-a < \delta $ แล้ว $f(x) > M $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าลดลงอนันต์ $ -\infty $
เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a $ ทางซ้าย "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to a^{-} } f(x) = -\infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ M > 0 $ จะมีจำนวนจริง $ \delta > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
ถ้า $ a-x < \delta $ แล้ว $f(x) < -M $
บทนิยาม
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะกล่าวว่า
" ลิมิตของ $y$ หรือ $f(x)$ มีค่าลดลงอนันต์ $ -\infty $
เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a $ ทางขวา "
เขียนแทนด้วย $$ \lim_{x \to a^{+} } f(x) = -\infty $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $ M > 0 $ จะมีจำนวนจริง $ \delta > 0 $ ทำให้ ทุก $ x \in D_f $
ถ้า $ x-a < \delta $ แล้ว $f(x) < -M $
หมายเหตุ
$
\begin{align}
& 1. \lim_{x \to a } f(x) = \infty & ก็ต่อเมื่อ & \lim_{x \to a^{+} } f(x) = \infty = \lim_{x \to a^{-} } f(x) \\
& 2. \lim_{x \to a } f(x) = -\infty & ก็ต่อเมื่อ & \lim_{x \to a^{+} } f(x) = -\infty = \lim_{x \to a^{-} } f(x) \\
\end{align}
$
ตัวอย่าง
ให้ $y=f(x)=\frac{1}{x}$ จะได้ว่า
$$ \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0 \\
\lim_{x \to -\infty } \frac{1}{x} = 0 \\
\lim_{x \to 0^{-} } \frac{1}{x} = -\infty \\
\lim_{x \to 0^{+} } \frac{1}{x} = \infty
$$
ทฤษฎีบท(พีชคณิตลิมิต)
ถ้า $ \lim_{x \to \infty } f(x) = L $ และ $ \lim_{x \to \infty } g(x) = M $ เมื่อ $L,M $ เป็นจำนวนจริงจะได้ว่า
$
\begin{align}
& 1. \lim_{x \to \infty} (f(x) +g(x)) = L+M \\
& 2. \lim_{x \to \infty} (f(x) -g(x)) = L-M \\
&3. \lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M \\
&4. \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} เมื่อ M \neq 0 \\
\end{align}
$
ทฤษฎีบท(พีชคณิตลิมิต)
ถ้า $ \lim_{x \to -\infty } f(x) = L $ และ $ \lim_{x \to -\infty } g(x) = M $ เมื่อ $L,M $ เป็นจำนวนจริงจะได้ว่า
$
\begin{align}
& 1. \lim_{x \to - \infty} (f(x) +g(x)) = L+M \\
& 2. \lim_{x \to - \infty} (f(x) -g(x)) = L-M \\
&3. \lim_{x \to - \infty} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M \\
&4. \lim_{x \to - \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} เมื่อ M \neq 0 \\
\end{align}
$
ทฤษฎีบท
ถ้า $ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $ และ $ \lim_{x \to a} g(x) = M $ เมื่อ $ M $ เป็นจำนวนจริงจะได้ว่า
$
\begin{align}
&1.\lim_{x \to a} (f(x) +g(x)) = \infty\\
& 2. \lim_{x \to a} (f(x) -g(x)) = \infty \\
& 3. \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \left\{ \begin{array} {ll} \infty & M >0 \\ -\infty & M < 0 \end{array} \right. \\
\end{align}
$
ทฤษฎีบท
ถ้า $ \lim_{x \to a} f(x) = -\infty $ และ $ \lim_{x \to a} g(x) = M $ เมื่อ $ M $ เป็นจำนวนจริงจะได้ว่า
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to a} (f(x) +g(x)) = -\infty\\
& 2. \lim_{x \to a} (f(x) -g(x)) = -\infty \\
& 3. \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \left\{ \begin{array} {ll} -\infty & M >0 \\ \infty & M < 0 \end{array} \right.\\
\end{align}
$
ทฤษฎีบท
ถ้า $ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $ และ $ \lim_{x \to a} g(x) = \infty $ จะได้ว่า
$
\begin{align}
& 1. \lim_{x \to a} (f(x) +g(x)) = \infty \\
& 2. \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \infty
\end{align}
$
ทฤษฎีบท
ถ้า $ \lim_{x \to a} f(x) = -\infty $ และ $ \lim_{x \to a} g(x) = -\infty $ จะได้ว่า
$
\begin{align}
& 1. \lim_{x \to a} (f(x) +g(x)) = -\infty \\
&2. \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \infty
\end{align}
$
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to \infty } 3x+4 & &
2. \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{5x+6} \\
& 3. \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +4}{x^3+4x+5} & &
4. \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 -1}{x+1}
\end{align}
$
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to -\infty } 3x+4 & &
2. \lim_{x \to -\infty} \frac{2x+3}{5x+6} \\
& 3. \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 +4}{x^3+4x+5} & &
4. \lim_{x \to -\infty } \frac{x^3 -1}{x+1}
\end{align}
$
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x^4+1}}{x^2+1} & &
2. \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^4+1}}{x^2+1} \\
& 3. \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 +4}}{x+1} & &
4. \lim_{x \to -\infty } \frac{\sqrt{x^2 +4}}{x+1}
\end{align}
$
วิธีทำ 1
วิธีทำ 2
วิธีทำ 3
วิธีทำ 4
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x-2}}{x-2} & &
2. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x +1}+1}{x^2} \\
& 3. \lim_{x \to -3} \frac{x^2 +4}{x^2-9} & &
4. \lim_{x \to -1} \frac{x -1}{x^3+1} \\
\end{align}
$
วิธีทำ1
วิธีทำ2
วิธีทำ3
วิธีทำ4
ทฤษฎีบท (บีบ)
ถ้า มีจำนวนจริง $ N > 0 $ทำให้ $g(x) \leq f(x) \leq h(x) $ ทุก $x > N $ และ $ \lim_{x \to \infty } g(x) = L = \lim_{x \to \infty } h(x) $แล้ว $$ \lim_{x \to \infty } f(x) = L $$
ทฤษฎีบท (บีบ)
ถ้า มีจำนวนจริง $ N > 0 $ทำให้ $g(x) \leq f(x) \leq h(x) $ ทุก $x < -N $ และ $ \lim_{x \to -\infty } g(x) = L = \lim_{x \to -\infty } h(x) $แล้ว $$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = L $$
ตัวอย่าง
จงหาค่าลิมิต ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \lim_{x \to \infty } \frac{\sin x}{x} & &
2. \lim_{x \to -\infty } \frac{\sin x}{x} \\
\end{align}
$
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้
แบบฝึกหัด
จงหาค่า ลิมิต ต่อไปนี้
$ \begin{align}
&1. \lim_{x \to \infty } 4x+5 & &
2. \lim_{x \to \infty} \frac{3x+4}{6x+7} \\
& 3. \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 +4x+1}{x^3+2x+5} & &
4. \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 +1}{x+1} \\
&5. \lim_{x \to -\infty } 7x+8 & &
6. \lim_{x \to -\infty} \frac{3x+5}{6x+7} \\
& 7. \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 +x+4}{x^3+4x^2+5} & &
8. \lim_{x \to -\infty } \frac{x^3 +x^2-1}{x+1} \\
&9. \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x^8+1}}{x^4+1} & &
10. \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^8+x^4+1}}{x^4+x^2+1} \\
& 11. \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 +5}}{x+4} & &
12. \lim_{x \to -\infty } \frac{\sqrt{x^2 +6}}{x+3} \\
&13. \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{4x-5}}{x-3} & &
14. \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x +4}+5}{x^2} \\
& 15. \lim_{x \to -3} \frac{x^2 +1}{x^2-9} & &
16. \lim_{x \to -1} \frac{x -2}{x^3+1} \\
\end{align}
$