" ทุกๆ เซตย่อยที่ไม่ใช่เซตว่างของเซตของจำนวนนับจะมีสมาชิกที่มีค่าน้อยสุด "
ทฤษฎีบท 1.1 (First principle of Finite induction)
ถ้า S เป็นสับเซตของ N และ S มีคุณสมบัติดังนี้พิสูจน์
1) 1 ฮ S
2) ถ้า k ฮ S แล้ว k + 1 ฮ S
จะได้ว่า S = N
ทฤษฎีบท 1.2 วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่
1
(The First method of proof by mathematical
induction)
สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n
ถ้า 1) P(1) เป็นจริง
และ 2) สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย
จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n
ตัวอย่าง 1 จงพิสูจน์ว่า 1 + 5 + 9
+ ... + (4n -3) = n(2n - 1) เป็นจริงสำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n
วิธีทำ
ทฤษฎีบท 1.4 วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่
2
( The second method of proof by mathematical
induction )
สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ nพิสูจน์ พิสูจน์เหมือน ทฤษฎีบท 1.2
ถ้า 1) P(1) เป็นจริง
และ 2) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก k
ถ้า P(2), P(3), , P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริง
จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n
ตัวอย่าง 2 พิจารณาลำดับ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
ซึ่งมีชื่อเรียกว่า ลำดับฟิโบนักซี (Fibonacci sequqnce) ซึ่งกำหนดพจน์ที่ n ดังนี้วิธีทำ
u1 = 1, u2 = 2
un = un-1 + un-2 สำหรับจำนวนเต็มบวก n ซึ่ง n ณ 3
จงพิสูจน์ว่า un < (7/4)n เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n