ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ
บทนิยาม
(การหาปริพันธ์ไม่ตรงแบบที่มีลิมิตในการหาปริพันธ์เป็นอนันต์)
$
\begin{align}
1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (-\infty ,b] แล้ว\\ \int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x) dx\\
2.ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, \infty) แล้ว\\ \int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx\\
3. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (-\infty ,\infty) แล้ว\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{\infty} f(x) dx \\
=\lim_{t \to -\infty} \int_t^c f(x) dx +\lim_{s \to \infty} \int_c^s f(x) dx \\ เมื่อ c เป็นจำนวนจริง
\end{align}
$
สองกรณีแรกจะกล่าวว่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่เข้า ถ้าลิมิตทางขวามือเป็นจำนวนจริง
และถ้าลิมิตทางขวามือ ไม่ใช่จำนวนจริง จะกล่าวว่า ปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่ออก
ส่วนกรณีที่สามจะกล่าวว่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่เข้า
ถ้าลิมิตทางขวามือเป็นจำนวนจริงทั้งคู่
และจะกล่าวว่า ปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่ออก ถ้าลิมิตทางขวามือตัวใดตัวหนึ่ง ไม่ใช่จำนวนจริง
-ข้อสังเกต
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \neq \lim_{t \to \infty} \int_{-t}^t f(x) dx $$
ตัวอย่าง
$\lim_{t \to \infty} \int_{-t}^t x dx =\lim_{t \to \infty} \frac{x^2}{2} \Bigg|_{-t}^t = \lim_{t \to \infty} 0 = 0$
แต่ $\int_{-\infty}^{\infty} x dx = \int_{-\infty}^0 x dx +\int_0^{\infty} x dx $
และ เนื่องจาก $\int_0^{\infty} x dx = \lim_{t \to \infty} \int_0^t xdx =\lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{2} = \infty $
ได้ว่า $\int_0^{\infty} x dx $ ลู่ออก
จึงได้ว่า$\int_{-\infty}^{\infty} x dx $ ลู่ออก
บทนิยาม
(การหาปริพันธ์ไม่ตรงแบบที่ ฟังก์ชัน $f $ มีจุดที่ไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์)
$
\begin{align}
1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (a ,b] และ \lim_{t \to a^+} f(x) = \infty (หรือ -\infty ) แล้ว\\
\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) dx \\
2. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b ) และ \lim_{t \to b^-} f(x) = \infty (หรือ -\infty ) แล้ว\\
\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx \\
3. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,c) \cup (c,b] และ f ไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์ที่ c แล้ว\\
\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \\
=\lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x) dx +\lim_{s \to c^+} \int_s^b f(x) dx \\
\end{align}
$
สองกรณีแรกจะกล่าวว่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่เข้า ถ้าลิมิตทางขวามือเป็นจำนวนจริง
และถ้าลิมิตทางขวามือ ไม่ใช่จำนวนจริง จะกล่าวว่า ปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่ออก
ส่วนกรณีที่สามจะกล่าวว่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่เข้า
ถ้าลิมิตทางขวามือเป็นจำนวนจริงทั้งคู่
และจะกล่าวว่า ปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่ออก ถ้าลิมิตทางขวามือตัวใดตัวหนึ่ง ไม่ใช่จำนวนจริง
ตัวอย่าง
จงหาค่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+4}
&& 2. \int_1^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} \\
&3. \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{(x-1)^2} & &
4. \int_{-\infty}^0 e^{-x} dx \\
& 5. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(x^2+2)^2} dx
&& 6. \int_{-\infty}^{\infty} e^x dx \\
& 7. \int_2^5 \frac{dx}{ \sqrt{x-2}}
&& 8. \int_0^1 \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}} \\
& 9. \int_0^1 \frac{dx}{2t-1}
&& 10. \int_{-1}^{\infty} \frac{dx}{x^2}
\end{align}
$
วิธีทำ 1
วิธีทำ 6
วิธีทำ 7
วิธีทำ 10
แบบฝึกหัด
จงหาค่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}
&& 2. \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{(4-x)^2} \\
&3. \int_0^{\infty} e^{-x} & &
4. \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2} \\
& 5. \int_{-\infty}^{-1} e^{-2x} dx
&& 6. \int_{-\infty}^{\infty} (2-x^4) dx \\
& 7. \int_{-\infty}^{-1} x e^{-x^2} dx
&& 8. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{9+x^6} dx \\
& 9. \int_0^1 \frac{3}{x^6} dx
&& 10. \int_2^3 \frac{1}{\sqrt{3-x}} dx \\
& 11. \int_0^1 \frac{1}{4x-1} dx
&& 12. \int_{-1}^8 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx \\
\end{align}
$