ลิมิตและความต่อเนื่อง

จากฟังก์ชัน หนึ่งตัวแปร $y=f(x)$ จะได้ว่า เมื่อกำหนดค่า $x$ ใน โดเมนของ $f $ มาหนึ่งค่าจะได้ ค่า $ y $ เพียงหนึ่งค่า
สำหรับ ฟังก์ชัน สองตัวแปร $z=f(x,y)$จะได้ว่า เมื่อกำหนดค่า $(x,y) $ ใน โดเมนของ $f $ มาหนึ่งค่าจะได้ ค่า $ z $ เพียงหนึ่งค่า
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน สามตัวแปร $w=f(x,y,z)$จะได้ว่า เมื่อกำหนดค่า $(x,y,z) $ ใน โดเมนของ $f $ มาหนึ่งค่าจะได้ ค่า $ w $ เพียงหนึ่งค่า
กรณี ทั่วไป ฟังก์ชัน $n$ ตัวแปร $x_{n+1}=f(x_1,x_2,...,x_n)$จะได้ว่า เมื่อกำหนดค่า $(x_1,x_2,...,x_n) $ ใน โดเมนของ $f $ มาหนึ่งค่าจะได้ ค่า $ x_{n+1} $ เพียงหนึ่งค่า

ตัวอย่าง

จงหาค่า $f(1,2)$ พร้อม โดเมนของ $f $ เขียนแทนด้วย $D_f$ เมื่อ
$1. f(x,y) \quad = \sqrt{16-x^2-y^2} \\ 2. f(x,y) \quad = \frac{x+y}{x-y}$

วิธีทำ

    1. จาก $f(x,y)= \sqrt{16-x^2-y^2} $
ดังนั้น $f(1,2)= \sqrt{16-1^2-2^2} =\sqrt{11}$
$D_f = \{ (x,y) : 16-x^2-y^2 \ge 0 \}$ หรือ $ \{ (x,y) : x^2+y^2 \le 16 \}$
    2. จาก $ f(x,y)= \frac{x+y}{x-y} $
ดังนั้น $ f(1,2)= \frac{1+2}{1-2} = -3 $
$D_f = \{ (x,y) : x-y \neq 0 \}$

นิยาม

ให้ $f(x,y) $ เป็นฟังก์ชันสองตัวแปร $ (a,b) \in R \times R $ จะกล่าวว่า ลิมิตของฟังก์ชัน $f(x,y) $ เข้าใกล้ $ L $ เมื่อ $(x,y)$ เข้าใกล้ $(a,b)$ เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ $$\lim_{(x,y) \to (a,b) } f(x,y) = L $$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก $ \epsilon > 0 $ จะมี $\delta > 0 $ ทำให้ ทุก $(x,y) \in D_f $
ถ้า
$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta $ แล้ว $| f(x,y) - L | < \epsilon $

กรณี

$C$ เป็นเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการอิงตัวแปรเสริม $x= x(t), \quad y= y(t) $ โดยที่ มี $ t_0 $ ทำให้ $a=x(t_0) \quad b = y(t_0) $
จะนิยาม $\lim_{ (x,y) \to (a,b) } f(x,y) $ ตามแนเส้นโค้ง $C $ ดังนี้
$$\lim_{{(x,y) \to (a,b) }_{ตามเส้นโค้ง C}} f(x,y) = \lim_{t \to t_0 } f(x(t),y(t)) $$

ทฤษฎีบท

$ \lim_{(x,y) \to (a,b) } f(x,y) = L $ ก็ต่อเมื่อ $\lim_{{(x,y) \to (a,b) }_{ตามเส้นโค้ง C}} f(x,y) = L $
ทุกเส้นโค้ง $C$ ที่ผ่านจุด $(a,b) $

ข้อสังเกต

ถ้ามีเส้นโค้ง $C_1$ และเส้นโค้ง $C_2$ ที่ต่างกันที่ผ่านจุด $ (a,b) $ แต่ทำให้ได้ว่า
$$\lim_{{(x,y) \to (a,b) }_{ตามเส้นโค้ง C_1}} f(x,y) \neq \lim_{{(x,y) \to (a,b) }_{ตามเส้นโค้ง C_2}} f(x,y) $$ แล้ว เราจะสรุปได้ว่า $ \lim_{ (x,y) \to (a,b) } f(x,y) $ หาค่าไม่ได้ หรือ บอกได้ว่า ฟังก์ชัน $f(x,y) $ ไม่มีลิมิต เมื่อ $(x,y) $ เข้าใกล้ $(a,b) $

ทฤษฎีบท

1. ถ้า $f(x,y) = C $ เมื่อ $ C $ เป็นค่าคงที่ แล้ว $ \lim_{ (x,y) \to (a,b) } f(x,y) = \lim_{ (x,y) \to (a,b) } C \qquad = C $
2. ถ้า $f(x,y) = x $ แล้ว $ \lim_{ (x,y) \to (a,b) } f(x,y) = \lim_{ (x,y) \to (a,b) } x \qquad = a $

3. ถ้า $f(x,y) = y $ แล้ว $\lim_{ (x,y) \to (a,b) } f(x,y) = \lim_{ (x,y) \to (a,b) } y \qquad = b $

ทฤษฎีบท (พีชคณิตลิมิต)

ถ้า $ \lim_{ (x,y) \to (a,b) } f(x,y) \qquad = L $ และ $ \lim_{ (x,y) \to (a,b) } g (x,y) \qquad = M $ แล้ว
$ 1. \lim_{ (x,y) \to (a,b) } \big ( f(x,y) + g(x,y) \big)\qquad = L+M \\ 2. \lim_{ (x,y) \to (a,b) } \big ( f(x,y) - g(x,y) \big)\qquad = L- M \\ 3. \lim_{ (x,y) \to (a,b) } \big ( f(x,y) \cdot g(x,y) \big)\qquad = L \cdot M \\ 4. \lim_{ (x,y) \to (a,b) } \frac{f(x,y)}{g(x,y)} \qquad = \frac{L}{M} $ เมื่อ $ M \neq 0$

ตัวอย่าง

จงหาค่า $ \lim_{ (x,y) \to (1,2) } \frac{2x+y-3}{4x-y+5}$

วิธีทำ

โดยพีชคณิตลิมิตได้ $ \lim_{ (x,y) \to (1,2) } \frac{2x+y-3}{4x-y+5} \quad = \frac{2(1)+(2)-3}{4(1)-(2)+5} \quad = \frac{1}{7}$

ตัวอย่าง

จงหาค่า $ \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{x^2-y^2}{x-y}$

วิธีทำ

จาก $ \lim_{ (x,y) \to (1,1)} (x-y) = 1-1 =0 $ และ $ \lim_{ (x,y) \to (1,1)} (x^2 - y^2) = 1-1 =0 $ ซึ่งลิมิต อยู่ในรูปแบบ $\frac{0}{0}$
แต่ พบว่า เมื่อ $x \neq y $ จะได้ว่า $\frac{x^2-y^2}{x-y}= \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y $
ดังนั้น $ \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{x^2-y^2}{x-y} \quad = \lim_{ (x,y) \to (1,1) } x+y \quad = 1+1 = 2 $

ตัวอย่าง

จงหาค่า $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}{x^2+y^2}$

วิธีทำ

จาก $ \lim_{ (x,y) \to (0,0)} (x^2+y^2) = 0+0 =0 $ และ $ \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2 + y^2+1} -1 = 1-1 =0 $ ซึ่งลิมิต อยู่ในรูปแบบ $\frac{0}{0}$
แต่ พบว่า เมื่อ $x^2+y^2 \neq 0 $ จะได้ว่า $\frac{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}{x^2+y^2} = \frac{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}{x^2+y^2} \cdot \frac{\sqrt{x^2+y^2+1}+1}{\sqrt{x^2+y^2+1}+1} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}+1} $
ดังนั้น $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}{x^2+y^2} \quad = \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}+1} \quad = \frac{1}{2} $

ตัวอย่าง

จงแสดงว่า $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ หาค่าไม่ได้

วิธีทำ

เห็นได้ว่า ลิมิต อยู่ในรูปแบบ $ \frac{0}{0} $
พิจารณา $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ตามแนแกน $x$ หรือ ตามเส้นตรง $ x= x , y= 0 $
จะได้ว่า $ \lim_{{ (x,y) \to (0,0) }_{ตามแนแกน x}} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \quad = \lim_{ x \to 0 } \frac{x^2-0^2}{x^2+0^2} \quad = \lim_{ x \to 0 } 1 \quad = 1 $
ต่อไป พิจารณา $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ตามแนแกน $ y $หรือ ตามเส้นตรง $ x= 0 , y= y $
จะได้ว่า $ \lim_{{ (x,y) \to (0,0) }_{ตามแนแกน y}} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \quad = \lim_{ y \to 0 } \frac{0^2-y^2}{0^2+y^2} \quad = \lim_{ y \to 0 } (-1) \quad = -1 $
ดังนั้น $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ หาค่าไม่ได้

ตัวอย่าง

จงแสดงว่า $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy}{x^2+3 y^2}$ หาค่าไม่ได้

วิธีทำ

เห็นได้ว่า ลิมิต อยู่ในรูปแบบ $ \frac{0}{0} $
  พิจารณา $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy}{x^2+3 y^2}$ ตามแนแกน $x$ หรือ ตามเส้นตรง $ x= x , y= 0 $
จะได้ว่า $ \lim_{{ (x,y) \to (0,0) }_ {ตามแนแกน x}} \frac{xy}{x^2+3 y^2} \quad = \lim_{ x \to 0 } \frac{x(0)}{x^2+3 (0)^2} \quad = 0 $
  ต่อไป พิจารณา $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy}{x^2+3 y^2}$ ตามเส้นตรง $ y= x $
จะได้ว่า $ \lim_{{ (x,y) \to (0,0) }_ {ตามเส้นตรง y= x}} \frac{xy}{x^2+3 y^2} \quad = \lim_{ x \to 0 } \frac{x(x)}{x^2+3 (x)^2} \quad = \lim_{ x \to 0 } \frac{1}{4} \quad = \frac{1}{4} $
ดังนั้น $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy}{x^2+3 y^2}$ หาค่าไม่ได้

ตัวอย่าง

จงแสดงว่า $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xyู^2}{x^2+ y^4}$ หาค่าไม่ได้

วิธีทำ

เห็นได้ว่า ลิมิต อยู่ในรูปแบบ $ \frac{0}{0} $
  พิจารณา $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy^2}{x^2+ y^4}$ ตามแนแกน $x$ หรือ ตามเส้นตรง $ x= x , y= 0 $
จะได้ว่า $ \lim_{{ (x,y) \to (0,0) }_ {ตามแนแกน x}} \frac{xy^2}{x^2+y^4} \quad = \lim_{ x \to 0 } \frac{x(0)}{x^2+ (0)^4} \quad = 0 $
  ต่อไป พิจารณา $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy^2}{x^2+y^4}$ ตามเส้นโค้ง $ x=y^2 $
จะได้ว่า $ \lim_{{ (x,y) \to (0,0) }_ {ตามเส้นโค้ง x= y^2}} \frac{xy^2}{x^2+y^4} \quad = \lim_{ y \to 0 } \frac{(y^2)y^2}{(y^2)^2+ y^4} \quad = \lim_{ y \to 0 } \frac{1}{2} \quad = \frac{1}{2} $
ดังนั้น $ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xyู^2}{x^2+ y^4}$ หาค่าไม่ได้

ข้อสังเกต

$ \lim_{{ (x,y) \to (0,0) }_ {ตามเส้นตรง y = mx }} \frac{xy^2}{x^2+y^4} \quad = \lim_{ x \to 0 } \frac{ x (mx)^2}{x^2+ (mx)^4} \quad = \lim_{ x \to 0 } \frac{m^2x}{1+m^4x^2} \quad = 0 $

นิยาม

จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน $f(x,y)$ ต่อเนื่อง ที่จุด $(a,b) $ ก็ต่อเมื่อ $$\lim_{(x,y) \to (a,b) } f(x,y) \quad = f(a,b) $$
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้

แบบฝึกหัด

จงหาค่า ลิมิต ต่อไปนี้ $$ \begin{align} 1.& \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{x^4-y^4}{x^2-y^2} & 2. \lim_{ (x,y) \to (2,1) } \frac{x^4-16y^4}{x^2-4y^2} \\ 3.& \lim_{ (x,y) \to (2,2) } \frac{x^3-y^3}{x-y} & 4. \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{x^2-xy}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \\ 5. & \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+4}-2 } & 6. \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+9}-3 }\\ 7. & \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2+sin^2y}{2x^2+y^2 } ตามแนวแกน x\\ 8. & \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{x^2+sin^2y}{2x^2+y^2 } ตามแนวแกน y \\ 9. & \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy^4}{x^2+y^8 } ตามแนวแกน y \\ 10. & \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy^4}{x^2+y^8 } ตามเส้นโค้ง x= y^4 \\ 11. & \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{6x^3y}{x^4+2y^4 } ตามเส้นตรง y = x \\ 12. & \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{6x^3y}{x^4+2y^4 } ตามเส้นตรง y = 2x \\ \end{align} $$